Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( x^7 = 6^{14} \)
2) \( x^4 = 5^{12} \)
1) \( x^7 = 6^{14} \)
\( x^7 = (6^2)^7 \)
\( x = 6^2 \)
\( x = 36 \).
Ответ: \( x = 36 \).
2) \( x^4 = 5^{12} \)
\( x^4 = (5^3)^4 \) или \( x^4 = ((-5)^3)^4 \)
\( x = 5^3 \) \( \quad x = (-5)^3 \)
\( x = 125 \) \( \quad x = -125 \).
Ответ: \( x = ± 125 \).
1) \( x^7 = 6^{14} \)
Нужно найти число \( x \), седьмая степень которого равна \( 6^{14} \).
Заметим, что справа стоит степень числа \( 6 \). Чтобы извлечь корень степени \( 7 \), удобно представить \( 6^{14} \) как степень с показателем \( 7 \).
Представим показатель \( 14 \) как произведение \( 2 \cdot 7 \):
\( 14 = 2 \cdot 7 \)
Тогда:
\( 6^{14} = 6^{2 \cdot 7} \)
Используем правило: \( a^{m \cdot n} = (a^m)^n \).
\( 6^{2 \cdot 7} = (6^2)^7 \)
Значит, исходное уравнение можно переписать так:
\( x^7 = (6^2)^7 \)
Теперь у нас равенство двух седьмых степеней:
\( x^7 = (6^2)^7 \)
Если степени одинаковые и показатель \( 7 \) нечётный, то равенство степеней означает равенство оснований (для действительных чисел):
\( x = 6^2 \)
Вычислим \( 6^2 \):
\( 6^2 = 6 \cdot 6 = 36 \)
Получаем:
\( x = 36 \)
Ответ: \( x = 36 \).
2) \( x^4 = 5^{12} \)
Нужно найти все значения \( x \), четвертая степень которых равна \( 5^{12} \).
Снова удобно представить правую часть как четвёртую степень некоторого числа.
Разложим показатель \( 12 \) как произведение \( 3 \cdot 4 \):
\( 12 = 3 \cdot 4 \)
Тогда:
\( 5^{12} = 5^{3 \cdot 4} \)
Используем правило: \( a^{m \cdot n} = (a^m)^n \).
\( 5^{3 \cdot 4} = (5^3)^4 \)
Значит, уравнение можно переписать так:
\( x^4 = (5^3)^4 \)
Теперь сравниваем четвёртые степени:
\( x^4 = (5^3)^4 \)
Но показатель \( 4 \) чётный, поэтому у двух разных оснований может получиться одна и та же четвёртая степень: если \( x = 5^3 \), то равенство верно, и если \( x = -5^3 \), то тоже верно, потому что \( (-a)^4 = a^4 \).
Запишем это строго:
Из равенства \( x^4 = (5^3)^4 \) следует, что:
\( x = 5^3 \) или \( x = -5^3 \)
Число \( -5^3 \) можно также записать как \( (-5)^3 \), потому что:
\( (-5)^3 = -125 \)
Посчитаем \( 5^3 \):
\( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125 \)
Тогда:
\( x = 125 \) или \( x = -125 \)
Итак, множество решений:
\( x = ± 125 \)
Ответ: \( x = ± 125 \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!