ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

1) \( 2^{300} \ и \ 3^{200} \)

2) \( 4^{18} \ и \ 18^9 \)

3) \( 27^{20} \ и \ 11^{30} \)

4) \( 3^{10} \cdot 5^8 \ и \ 15^9 \)

1) \( 2^{300} < 3^{200} \)

\( (2^3)^{100} < (3^2)^{100} \)

\( 8^{100} < 9^{100} \).

2) \( 4^{18} < 18^9 \)

\( (4^2)^9 < 18^9 \)

\( 16^9 < 18^9 \).

3) \( 27^{20} < 11^{30} \)

\( (27^2)^{10} < (11^3)^{10} \)

\( 729^{10} < 1331^{10} \).

4) \( 3^{10} \cdot 5^8 < 15^9 \)

\( 3^2 \cdot 3^8 \cdot 5^8 < 15^9 \)

\( 3^2 \cdot (3 \cdot 5)^8 < 15^9 \)

\( 9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8 \).

1) \( 2^{300} \ ? \ 3^{200} \)

Нужно сравнить два больших числа-степени. Удобно привести их к одинаковому показателю степени, чтобы сравнивать основания.

Заметим, что числа \( 300 \) и \( 200 \) имеют общий делитель \( 100 \).

Представим показатели как произведение на \( 100 \):

\( 300 = 3 \cdot 100 \)

\( 200 = 2 \cdot 100 \)

Тогда:

\( 2^{300} = 2^{3 \cdot 100} = (2^3)^{100} \)

\( 3^{200} = 3^{2 \cdot 100} = (3^2)^{100} \)

Подставляем в сравнение:

\( (2^3)^{100} \ ? \ (3^2)^{100} \)

Вычислим основания:

\( 2^3 = 8 \)

\( 3^2 = 9 \)

Получаем:

\( 8^{100} \ ? \ 9^{100} \)

Теперь показатели одинаковые и положительные. При одинаковом показателе \( 100 \) больше будет та степень, у которой больше основание (так как \( 8 > 0 \) и \( 9 > 0 \)).

Сравним основания:

\( 8 < 9 \)

Следовательно:

\( 8^{100} < 9^{100} \)

Значит:

\( 2^{300} < 3^{200} \).

2) \( 4^{18} \ ? \ 18^9 \)

Снова приведём степени к одинаковому показателю. Заметим, что \( 18 = 2 \cdot 9 \), поэтому удобно получить показатель \( 9 \).

Представим \( 18 \) как \( 2 \cdot 9 \):

\( 18 = 2 \cdot 9 \)

Тогда:

\( 4^{18} = 4^{2 \cdot 9} = (4^2)^9 \)

Правая часть уже имеет показатель \( 9 \):

\( 18^9 \)

Получаем сравнение:

\( (4^2)^9 \ ? \ 18^9 \)

Вычислим основание слева:

\( 4^2 = 16 \)

Тогда:

\( 16^9 \ ? \ 18^9 \)

Показатели одинаковые и положительные, значит сравниваем основания:

\( 16 < 18 \)

Следовательно:

\( 16^9 < 18^9 \)

Значит:

\( 4^{18} < 18^9 \).

3) \( 27^{20} \ ? \ 11^{30} \)

Приведём степени к одинаковому показателю. Числа \( 20 \) и \( 30 \) имеют общий делитель \( 10 \).

Разложим показатели:

\( 20 = 2 \cdot 10 \)

\( 30 = 3 \cdot 10 \)

Тогда:

\( 27^{20} = 27^{2 \cdot 10} = (27^2)^{10} \)

\( 11^{30} = 11^{3 \cdot 10} = (11^3)^{10} \)

Получаем сравнение:

\( (27^2)^{10} \ ? \ (11^3)^{10} \)

Вычислим основания:

\( 27^2 = 27 \cdot 27 = 729 \)

\( 11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 121 \cdot 11 = 1331 \)

Тогда:

\( 729^{10} \ ? \ 1331^{10} \)

Показатели одинаковые и положительные, значит сравниваем основания:

\( 729 < 1331 \)

Следовательно:

\( 729^{10} < 1331^{10} \)

Значит:

\( 27^{20} < 11^{30} \).

4) \( 3^{10} \cdot 5^8 \ ? \ 15^9 \)

Сравним произведение степеней слева со степенью справа. Удобно выразить \( 15^9 \) через множители \( 3 \) и \( 5 \), потому что \( 15 = 3 \cdot 5 \).

Сначала разложим \( 3^{10} \) так, чтобы выделить множитель \( 3^2 \) и получить степень \( 8 \), которая есть у \( 5^8 \):

\( 3^{10} = 3^2 \cdot 3^8 \)

Тогда левая часть:

\( 3^{10} \cdot 5^8 = 3^2 \cdot 3^8 \cdot 5^8 \)

Теперь применим правило: \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \). Здесь \( a = 3 \), \( b = 5 \), \( n = 8 \).

\( 3^8 \cdot 5^8 = (3 \cdot 5)^8 \)

Подставляем:

\( 3^2 \cdot (3 \cdot 5)^8 \)

Так как \( 3 \cdot 5 = 15 \), получаем:

\( 3^2 \cdot 15^8 \)

Вычислим \( 3^2 \):

\( 3^2 = 9 \)

Левая часть становится:

\( 9 \cdot 15^8 \)

Правая часть:

\( 15^9 = 15 \cdot 15^8 \)

Теперь сравниваем:

\( 9 \cdot 15^8 \ ? \ 15 \cdot 15^8 \)

Так как \( 15^8 > 0 \), можно сравнить коэффициенты перед \( 15^8 \):

\( 9 \ ? \ 15 \)

Очевидно:

\( 9 < 15 \)

Значит:

\( 9 \cdot 15^8 < 15 \cdot 15^8 \)

Следовательно:

\( 3^{10} \cdot 5^8 < 15^9 \).