Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Сравните значения выражений:
1) \( 10^{40} \ и \ 10\,001^{10} \)
2) \( 124^4 \ и \ 5^{12} \)
3) \( 8^{12} \ и \ 59^6 \)
4) \( 6^{14} \ и \ 2^{16} \cdot 3^{12} \)
1) \( 10^{40} < 10\,001^{10} \)
\( (10^4)^{10} < 10\,001^{10} \)
\( 10\,000^{10} < 10\,001^{10} \).
2) \( 124^4 < 5^{12} \)
\( 124^4 < (5^3)^4 \)
\( 124^4 < 125^4 \).
3) \( 8^{12} > 59^6 \)
\( (8^2)^6 > 59^6 \)
\( 64^6 > 59^6 \).
4) \( 6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12} \)
\( 6^{14} > 2^4 \cdot 2^{12} \cdot 3^{12} \)
\( 6^{14} > 2^4 \cdot (2 \cdot 3)^{12} \)
\( 6^{14} > 2^4 \cdot 6^{12} \)
\( 6^2 \cdot 6^{12} > 16 \cdot 6^{12} \)
\( 36 \cdot 6^{12} > 16 \cdot 6^{12} \).
1) \( 10^{40} \ ? \ 10\,001^{10} \)
Нужно сравнить две степени. Удобно привести левую часть к степени с показателем \( 10 \), чтобы сравнивать с \( 10\,001^{10} \).
Представим показатель \( 40 \) как произведение \( 4 \cdot 10 \):
\( 40 = 4 \cdot 10 \)
Тогда по правилу \( a^{m \cdot n} = (a^m)^n \) получаем:
\( 10^{40} = 10^{4 \cdot 10} = (10^4)^{10} \)
Вычислим \( 10^4 \):
\( 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000 \)
Значит:
\( 10^{40} = 10\,000^{10} \)
Теперь сравнение стало таким:
\( 10\,000^{10} \ ? \ 10\,001^{10} \)
Показатели одинаковые и положительные, основания тоже положительные. При одинаковом показателе больше та степень, у которой больше основание.
Сравним основания:
\( 10\,000 < 10\,001 \)
Следовательно:
\( 10\,000^{10} < 10\,001^{10} \)
Значит:
\( 10^{40} < 10\,001^{10} \).
2) \( 124^4 \ ? \ 5^{12} \)
Снова удобно привести правую часть к степени с показателем \( 4 \), потому что слева стоит степень с показателем \( 4 \).
Представим \( 12 \) как \( 3 \cdot 4 \):
\( 12 = 3 \cdot 4 \)
Тогда:
\( 5^{12} = 5^{3 \cdot 4} = (5^3)^4 \)
Вычислим \( 5^3 \):
\( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125 \)
Значит:
\( 5^{12} = 125^4 \)
Теперь сравнение:
\( 124^4 \ ? \ 125^4 \)
Показатели одинаковые и положительные, основания положительные, значит сравниваем основания:
\( 124 < 125 \)
Следовательно:
\( 124^4 < 125^4 \)
Значит:
\( 124^4 < 5^{12} \).
3) \( 8^{12} \ ? \ 59^6 \)
Здесь степени имеют разные показатели. Удобно привести левую часть к степени с показателем \( 6 \), потому что справа показатель \( 6 \).
Представим \( 12 \) как \( 2 \cdot 6 \):
\( 12 = 2 \cdot 6 \)
Тогда:
\( 8^{12} = 8^{2 \cdot 6} = (8^2)^6 \)
Вычислим \( 8^2 \):
\( 8^2 = 8 \cdot 8 = 64 \)
Получаем:
\( 8^{12} = 64^6 \)
Теперь сравнение:
\( 64^6 \ ? \ 59^6 \)
Показатели одинаковые и положительные, основания положительные, значит сравниваем основания:
\( 64 > 59 \)
Следовательно:
\( 64^6 > 59^6 \)
Значит:
\( 8^{12} > 59^6 \).
4) \( 6^{14} \ ? \ 2^{16} \cdot 3^{12} \)
Сравним \( 6^{14} \) с произведением степеней. Заметим, что \( 6 = 2 \cdot 3 \), поэтому удобно выразить \( 6^{14} \) через степени \( 2 \) и \( 3 \) либо, наоборот, привести правую часть к выражению через \( 6 \).
Начнём с правой части и выделим общий множитель \( 2^{12} \cdot 3^{12} \), чтобы получить \( (2 \cdot 3)^{12} = 6^{12} \).
Разложим \( 2^{16} \) как \( 2^4 \cdot 2^{12} \), потому что \( 16 = 4 + 12 \):
\( 2^{16} = 2^4 \cdot 2^{12} \)
Тогда правая часть:
\( 2^{16} \cdot 3^{12} = (2^4 \cdot 2^{12}) \cdot 3^{12} = 2^4 \cdot 2^{12} \cdot 3^{12} \)
Сгруппируем \( 2^{12} \cdot 3^{12} \) и применим правило \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \):
\( 2^{12} \cdot 3^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 6^{12} \)
Тогда правая часть равна:
\( 2^4 \cdot 6^{12} \)
Получаем сравнение:
\( 6^{14} \ ? \ 2^4 \cdot 6^{12} \)
Теперь представим левую часть так, чтобы тоже было \( 6^{12} \). Разложим \( 6^{14} \) как \( 6^2 \cdot 6^{12} \), потому что \( 14 = 2 + 12 \):
\( 6^{14} = 6^2 \cdot 6^{12} \)
Подставляем:
\( 6^2 \cdot 6^{12} \ ? \ 2^4 \cdot 6^{12} \)
Вычислим числовые множители:
\( 6^2 = 36 \)
\( 2^4 = 16 \)
Тогда сравнение становится:
\( 36 \cdot 6^{12} \ ? \ 16 \cdot 6^{12} \)
Так как \( 6^{12} > 0 \), можно сравнить только коэффициенты \( 36 \) и \( 16 \):
\( 36 \ ? \ 16 \)
\( 36 > 16 \)
Следовательно:
\( 36 \cdot 6^{12} > 16 \cdot 6^{12} \)
Значит:
\( 6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12} \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!