ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Умножили квадрат натурального числа на куб натурального числа. Могла ли получиться шестая степень натурального числа?

Могла получить шестая степень натурального числа, если:

\( a^6 b^6 = (a^3)^2 \cdot (b^2)^3 \).

Пусть квадрат натурального числа равен \( a^2 \), а куб натурального числа равен \( b^3 \), где \( a \) и \( b \) — натуральные числа.

Тогда произведение имеет вид:

\( a^2 \cdot b^3 \)

Нужно понять, может ли выражение \( a^2 \cdot b^3 \) оказаться шестой степенью некоторого натурального числа, то есть иметь вид \( n^6 \), где \( n \) — натуральное число.

Вспомним, что шестая степень числа — это квадрат куба или куб квадрата:

\( n^6 = (n^3)^2 = (n^2)^3 \)

Чтобы произведение \( a^2 \cdot b^3 \) оказалось шестой степенью, удобно попытаться представить его как произведение двух шестых степеней.

Заметим, что:

\( (a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6 \)

\( (b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6 \)

Перемножим эти выражения:

\( (a^3)^2 \cdot (b^2)^3 = a^6 \cdot b^6 \)

Используем правило умножения степеней с одинаковым показателем: \( a^m \cdot b^m = (ab)^m \).

\( a^6 \cdot b^6 = (ab)^6 \)

Значит, произведение вида:

\( (a^3)^2 \cdot (b^2)^3 \)

всегда является шестой степенью натурального числа, а именно:

\( (a^3)^2 \cdot (b^2)^3 = (ab)^6 \)

Это означает, что ответ на вопрос “могла ли получиться шестая степень” — да, могла, если квадрат и куб были такими, что их можно записать в виде \( (a^3)^2 \) и \( (b^2)^3 \) для некоторых натуральных \( a \) и \( b \).

Итог:

\( (a^3)^2 \cdot (b^2)^3 = (ab)^6 \), значит могла получиться шестая степень натурального числа.