ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что сумма 8 + 8 + 8 + … + 8 равна \(4^{87} \). Сколько слагаемых в этой сумме?

\( 8 + 8 + 8 + \cdots + 8 = 4^{87} \)

\( \underbrace{2^3 + 2^3 + \cdots + 2^3}_{n\ \text{слагаемых}} = (2^2)^{87} \)

\( n \cdot 2^3 = 2^{174} \)

\( n = 2^{174} : 2^3 \)

\( n = 2^{171} \) → столько слагаемых в этой сумме.

Ответ: \( 2^{171} \).

Пусть в сумме \( n \) одинаковых слагаемых, каждое равно \( 8 \).

Тогда сумму можно записать как произведение количества слагаемых на одно слагаемое:

\( 8+8+8+\cdots+8 = n \cdot 8 \)

По условию задачи:

\( n \cdot 8 = 4^{87} \)

Теперь приведём обе части к степеням числа \( 2 \), потому что так удобнее сравнивать и делить степени.

Сначала представим \( 8 \) как степень числа \( 2 \):

\( 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \)

Теперь представим \( 4 \) как степень числа \( 2 \):

\( 4 = 2 \cdot 2 = 2^2 \)

Тогда правая часть:

\( 4^{87} = (2^2)^{87} \)

Применим правило степени степени: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\( (2^2)^{87} = 2^{2 \cdot 87} \)

Вычислим произведение в показателе:

\( 2 \cdot 87 = 174 \)

Значит:

\( 4^{87} = 2^{174} \)

Подставим найденные выражения в уравнение \( n \cdot 8 = 4^{87} \):

\( n \cdot 2^3 = 2^{174} \)

Теперь найдём \( n \). Для этого разделим обе части равенства на \( 2^3 \):

\( n = \frac{2^{174}}{2^3} \)

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Тогда:

\( \frac{2^{174}}{2^3} = 2^{174-3} \)

Вычтем показатели:

\( 174-3 = 171 \)

Получаем:

\( n = 2^{171} \)

Ответ: \( 2^{171} \).