ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какой цифрой оканчивается значение выражения (n — натуральное число):

1) \( 4^{100} \)

2) \( 3^{4n} = (3^4)^n = 81^n \)

3) \( 4^n \)

4) \( 3^n \)

5) \( 2^n \cdot 3^{n+1} \)

1) \( 4^{100} \) → показатель степени четный, значит, значение выражения оканчивается цифрой 6, так как 4 в четной степени оканчивается на 6, а 4 в нечетной — на цифру 4.

Ответ: 6.

2) \( 3^{4n} = (3^4)^n = 81^n \) → оканчивается на цифру 1, так как 1 в любой степени оканчивается на 1.

Ответ: 1.

3) \( 4^n \) → число 4 в четной степени оканчивается на 6, а в нечетной — на цифру 4.

Ответ: 4 или 6.

4) \( 3^n \) → число 3 в какой-либо степени может оканчиваться на 1, или 3, или 7, или 9.

Ответ: 1, 3, 7 или 9.

5) \( 2^n \cdot 3^{n+1} = 2^n \cdot 3^n \cdot 3 = (2 \cdot 3)^n \cdot 3 = 6^n \cdot 3 \) → число 6 в любой степени оканчивается на цифру 6, а произведение числа, оканчивающегося на 6, и числа 3 оканчивается на 8.

Ответ: 8.

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается значение выражения, нужно найти последнюю цифру числа. Последняя цифра определяется остатком по модулю \( 10 \).

Для степеней удобно использовать повторяемость последних цифр: при возведении в степень последние цифры повторяются с некоторым периодом.

1) \( 4^{100} \)

Рассмотрим последние цифры степеней числа \( 4 \):

\( 4^1 = 4 \) (последняя цифра \( 4 \))

\( 4^2 = 16 \) (последняя цифра \( 6 \))

\( 4^3 = 64 \) (последняя цифра \( 4 \))

\( 4^4 = 256 \) (последняя цифра \( 6 \))

Видно, что последняя цифра чередуется:

при нечётном показателе степень оканчивается на \( 4 \), при чётном — на \( 6 \).

Показатель \( 100 \) чётный, значит:

\( 4^{100} \) оканчивается цифрой \( 6 \).

Ответ: \( 6 \).

2) \( 3^{4n} \)

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней.

\( 3^{4n} = (3^4)^n \)

Вычислим \( 3^4 \):

\( 3^2 = 9 \)

\( 3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81 \)

Тогда:

\( 3^{4n} = 81^n \)

Любая степень числа, оканчивающегося на \( 1 \), тоже оканчивается на \( 1 \), потому что:

\( 1 \cdot 1 = 1 \), и при каждом следующем умножении последняя цифра остаётся \( 1 \).

Число \( 81 \) оканчивается на \( 1 \), значит:

\( 81^n \) оканчивается на \( 1 \)

Следовательно:

\( 3^{4n} \) оканчивается на \( 1 \).

Ответ: \( 1 \).

3) \( 4^n \)

Как и в пункте 1, рассмотрим закономерность последних цифр:

\( 4^1 \) оканчивается на \( 4 \)

\( 4^2 \) оканчивается на \( 6 \)

\( 4^3 \) оканчивается на \( 4 \)

\( 4^4 \) оканчивается на \( 6 \)

То есть:

если \( n \) нечётное, то \( 4^n \) оканчивается на \( 4 \);

если \( n \) чётное, то \( 4^n \) оканчивается на \( 6 \).

Так как \( n \) — любое натуральное число и его чётность не задана, возможны два варианта последней цифры.

Ответ: \( 4 \) или \( 6 \).

4) \( 3^n \)

Найдём цикл последних цифр степеней числа \( 3 \):

\( 3^1 = 3 \) (последняя цифра \( 3 \))

\( 3^2 = 9 \) (последняя цифра \( 9 \))

\( 3^3 = 27 \) (последняя цифра \( 7 \))

\( 3^4 = 81 \) (последняя цифра \( 1 \))

\( 3^5 = 243 \) (последняя цифра снова \( 3 \))

Значит, последние цифры повторяются с периодом \( 4 \):

\( 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, \ldots \)

Поэтому \( 3^n \) может оканчиваться одной из цифр:

\( 1 \), \( 3 \), \( 7 \), \( 9 \) (в зависимости от остатка \( n \) при делении на \( 4 \)).

Ответ: \( 1 \), \( 3 \), \( 7 \) или \( 9 \).

5) \( 2^n \cdot 3^{n+1} \)

Упростим выражение, чтобы выделить удобное основание.

Разложим \( 3^{n+1} \) по правилу \( a^{m+k} = a^m \cdot a^k \):

\( 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3^n \cdot 3 \)

Тогда выражение:

\( 2^n \cdot 3^{n+1} = 2^n \cdot (3^n \cdot 3) \)

Переставим множители (умножение коммутативно):

\( 2^n \cdot 3^n \cdot 3 \)

Сгруппируем \( 2^n \cdot 3^n \) и применим правило \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \):

\( 2^n \cdot 3^n = (2 \cdot 3)^n = 6^n \)

Тогда всё выражение равно:

\( 6^n \cdot 3 \)

Теперь найдём последнюю цифру \( 6^n \). Для любой натуральной степени:

\( 6^1 = 6 \) (последняя цифра \( 6 \))

\( 6^2 = 36 \) (последняя цифра \( 6 \))

\( 6^3 = 216 \) (последняя цифра \( 6 \))

То есть \( 6^n \) всегда оканчивается на \( 6 \).

Тогда произведение \( 6^n \cdot 3 \) по последней цифре эквивалентно \( 6 \cdot 3 \):

\( 6 \cdot 3 = 18 \)

Последняя цифра \( 18 \) равна \( 8 \), значит:

\( 6^n \cdot 3 \) оканчивается на \( 8 \).

Ответ: \( 8 \).