ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какой цифрой оканчивается значение выражения (n — натуральное число):

1) \( 9^{2n} \)

2) \( 7^{4n} \)

3) \( 7^{2n} \)

4) \( 3^{n+2} \cdot 7^n \)

1) \( 9^{2n} = (9^2)^n = 81^n \) → оканчивается на цифру 1, так как 1 в любой степени оканчивается на 1.

Ответ: 1.

2) \( 7^{4n} = (7^4)^n = 2401^n \) → оканчивается на цифру 1, так как 1 в любой степени оканчивается на 1.

Ответ: 1.

3) \( 7^{2n} = (7^2)^n = 49^n \) → оканчивается на цифру 1 или 9, так как 9 в какой-либо степени оканчивается на 1 или 9.

Ответ: 1 или 9.

4) \( 3^{n+2} \cdot 7^n = 3^n \cdot 3^2 \cdot 7^n = (3 \cdot 7)^n \cdot 3^2 = 21^n \cdot 9 \) → число \( 21^n \) оканчивается на цифру 1, а произведение числа, оканчивающегося на 1, и числа 9 оканчивается на 9.

Ответ: 9.

Чтобы узнать, какой цифрой оканчивается значение выражения, достаточно определить последнюю цифру числа, то есть остаток при делении на \( 10 \).

Для степеней и произведений удобно пользоваться тем, что последние цифры степеней повторяются по циклу.

1) \( 9^{2n} \)

Сначала упростим выражение, выделив удобное основание.

\( 9^{2n} = (9^2)^n \)

Вычислим \( 9^2 \):

\( 9^2 = 81 \)

Тогда:

\( 9^{2n} = 81^n \)

Число \( 81 \) оканчивается на \( 1 \). Любая степень числа, оканчивающегося на \( 1 \), тоже оканчивается на \( 1 \), потому что при умножении на число, оканчивающееся на \( 1 \), последняя цифра остаётся \( 1 \):

\( 1 \cdot 1 = 1 \)

\( 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)

и так далее.

Значит:

\( 81^n \) оканчивается на \( 1 \)

Следовательно:

\( 9^{2n} \) оканчивается на \( 1 \).

Ответ: \( 1 \).

2) \( 7^{4n} \)

Применим свойство степеней:

\( 7^{4n} = (7^4)^n \)

Вычислим \( 7^4 \):

\( 7^2 = 49 \)

\( 7^4 = (7^2)^2 = 49^2 \)

\( 49^2 = 49 \cdot 49 = 2401 \)

Значит:

\( 7^{4n} = 2401^n \)

Число \( 2401 \) оканчивается на \( 1 \), а значит любая его натуральная степень тоже оканчивается на \( 1 \).

Следовательно:

\( 2401^n \) оканчивается на \( 1 \)

Значит:

\( 7^{4n} \) оканчивается на \( 1 \).

Ответ: \( 1 \).

3) \( 7^{2n} \)

Снова преобразуем показатель:

\( 7^{2n} = (7^2)^n \)

Вычислим \( 7^2 \):

\( 7^2 = 49 \)

Значит:

\( 7^{2n} = 49^n \)

Последняя цифра числа \( 49^n \) совпадает с последней цифрой \( 9^n \), потому что и \( 49 \), и \( 9 \) оканчиваются на \( 9 \).

Рассмотрим последние цифры степеней \( 9 \):

\( 9^1 = 9 \) (последняя цифра \( 9 \))

\( 9^2 = 81 \) (последняя цифра \( 1 \))

\( 9^3 = 729 \) (последняя цифра \( 9 \))

\( 9^4 = 6561 \) (последняя цифра \( 1 \))

Видно, что последняя цифра чередуется с периодом \( 2 \):

при нечётном показателе — \( 9 \), при чётном — \( 1 \).

Поэтому \( 9^n \) оканчивается на \( 1 \) или \( 9 \), и то же верно для \( 49^n \).

Значит:

\( 7^{2n} \) оканчивается на \( 1 \) или \( 9 \).

Ответ: \( 1 \) или \( 9 \).

4) \( 3^{n+2} \cdot 7^n \)

Упростим выражение, чтобы выделить одинаковые показатели \( n \).

Разложим \( 3^{n+2} \) по правилу \( a^{m+k} = a^m \cdot a^k \):

\( 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 \)

Тогда:

\( 3^{n+2} \cdot 7^n = (3^n \cdot 3^2) \cdot 7^n \)

Переставим множители:

\( 3^n \cdot 7^n \cdot 3^2 \)

Сгруппируем \( 3^n \cdot 7^n \) и применим правило \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \):

\( 3^n \cdot 7^n = (3 \cdot 7)^n = 21^n \)

Тогда выражение равно:

\( 21^n \cdot 3^2 \)

Вычислим \( 3^2 \):

\( 3^2 = 9 \)

Получаем:

\( 21^n \cdot 9 \)

Теперь найдём последнюю цифру \( 21^n \). Число \( 21 \) оканчивается на \( 1 \), а значит любая его степень тоже оканчивается на \( 1 \):

\( 21^n \) оканчивается на \( 1 \)

Тогда последняя цифра произведения \( 21^n \cdot 9 \) совпадает с последней цифрой произведения \( 1 \cdot 9 \):

\( 1 \cdot 9 = 9 \)

Значит:

\( 21^n \cdot 9 \) оканчивается на \( 9 \)

Следовательно:

\( 3^{n+2} \cdot 7^n \) оканчивается на \( 9 \).

Ответ: \( 9 \).