ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) \( 17^8 + 19 \) делится нацело на 10;

2) \( 64^{64} — 1 \) делится нацело на 5;

3) \( 3^{4n} + 14 \) , где n — натуральное число, делится нацело на 5.

1) \( 17^8 + 19 = \cdots 1 + 19 = \cdots 0 \) → делится на 10;

\( 17^8 = (17^4)^2 \) → так как \( 17^4 \) оканчивается на 1, то \( (17^4)^2 \) тоже оканчивается на 1.

2) \( 64^{64} — 1 = \cdots 6 — 1 = \cdots 5 \) → делится на 5;

\( 64^{64} \) → так как 4 в четной степени оканчивается на 6.

3) \( 3^{4n} + 14 = \cdots 1 + 14 = \cdots 5 \) → делится на 5;

\( 3^{4n} = (3^4)^n = 81^n \) → число 1 в любой степени оканчивается на 1.

Чтобы доказать делимость на \( 10 \) или на \( 5 \), достаточно показать, что число оканчивается нужной цифрой.

Число делится на \( 10 \) тогда и только тогда, когда оно оканчивается на \( 0 \).

Число делится на \( 5 \) тогда и только тогда, когда оно оканчивается на \( 0 \) или на \( 5 \).

1) Докажем, что \( 17^8 + 19 \) делится на \( 10 \).

Найдём последнюю цифру числа \( 17^8 \). Последняя цифра определяется последней цифрой основания.

Число \( 17 \) оканчивается на \( 7 \), значит последняя цифра \( 17^8 \) такая же, как у \( 7^8 \).

Рассмотрим последние цифры степеней числа \( 7 \):

\( 7^1 = 7 \) (последняя цифра \( 7 \))

\( 7^2 = 49 \) (последняя цифра \( 9 \))

\( 7^3 = 343 \) (последняя цифра \( 3 \))

\( 7^4 = 2401 \) (последняя цифра \( 1 \))

Дальше цикл повторяется с периодом \( 4 \): \( 7, 9, 3, 1 \).

Так как \( 8 \) делится на \( 4 \), то:

\( 7^8 \) оканчивается так же, как \( 7^4 \), то есть на \( 1 \).

Следовательно:

\( 17^8 \) оканчивается на \( 1 \).

Тогда сумма:

\( 17^8 + 19 \)

по последней цифре равна сумме последних цифр \( 1 + 9 \).

\( 1 + 9 = 10 \), значит последняя цифра суммы равна \( 0 \).

Следовательно, \( 17^8 + 19 \) оканчивается на \( 0 \), то есть:

\( 17^8 + 19 \) делится на \( 10 \).

2) Докажем, что \( 64^{64} — 1 \) делится на \( 5 \).

Найдём последнюю цифру числа \( 64^{64} \).

Число \( 64 \) оканчивается на \( 4 \), значит последняя цифра \( 64^{64} \) такая же, как у \( 4^{64} \).

Рассмотрим последние цифры степеней числа \( 4 \):

\( 4^1 = 4 \) (последняя цифра \( 4 \))

\( 4^2 = 16 \) (последняя цифра \( 6 \))

\( 4^3 = 64 \) (последняя цифра \( 4 \))

\( 4^4 = 256 \) (последняя цифра \( 6 \))

Видно, что:

при нечётной степени последняя цифра \( 4 \),

при чётной степени последняя цифра \( 6 \).

Так как \( 64 \) — чётное число, то:

\( 4^{64} \) оканчивается на \( 6 \).

Следовательно:

\( 64^{64} \) оканчивается на \( 6 \).

Тогда:

\( 64^{64} — 1 \)

по последней цифре равно \( 6 — 1 = 5 \), значит число оканчивается на \( 5 \).

Число, оканчивающееся на \( 5 \), делится на \( 5 \), следовательно:

\( 64^{64} — 1 \) делится на \( 5 \).

3) Докажем, что \( 3^{4n} + 14 \) делится на \( 5 \), где \( n \) — натуральное число.

Рассмотрим выражение \( 3^{4n} \). Преобразуем его, выделив степень с показателем \( 4 \):

\( 3^{4n} = (3^4)^n \)

Вычислим \( 3^4 \):

\( 3^2 = 9 \)

\( 3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81 \)

Значит:

\( 3^{4n} = 81^n \)

Число \( 81 \) оканчивается на \( 1 \), поэтому любая его натуральная степень тоже оканчивается на \( 1 \).

Следовательно:

\( 3^{4n} \) оканчивается на \( 1 \).

Теперь рассмотрим сумму:

\( 3^{4n} + 14 \)

По последним цифрам это \( 1 + 4 \), потому что \( 14 \) оканчивается на \( 4 \).

\( 1 + 4 = 5 \)

Значит, \( 3^{4n} + 14 \) оканчивается на \( 5 \).

Любое число, оканчивающееся на \( 5 \), делится на \( 5 \), следовательно:

\( 3^{4n} + 14 \) делится на \( 5 \).