ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) \( 4^{40} — 1 \);

2) \( 2004^{171} + 171^{2004} \) делится нацело на 5.

1) \( 4^{40} — 1 = \cdots 6 — 1 = \cdots 5 \) → делится на 5;

\( 4^{40} \) → так как 4 в четной степени оканчивается на 6.

2) \( 2004^{11} + 171^{2004} = \cdots 4 + \cdots 1 = \cdots 5 \) → делится на 5;

\( 2004^{11} \) → так как 4 в нечетной степени оканчивается на 4;

\( 171^{2004} \) → так как 1 в любой степени оканчивается на 1.

Чтобы доказать делимость на \( 5 \), достаточно показать, что число оканчивается на \( 0 \) или на \( 5 \).

То есть нам нужно определить последнюю цифру каждого выражения.

1) Докажем, что \( 4^{40} — 1 \) делится на \( 5 \).

Сначала найдём последнюю цифру числа \( 4^{40} \).

Рассмотрим последние цифры степеней числа \( 4 \):

\( 4^1 = 4 \) (последняя цифра \( 4 \))

\( 4^2 = 16 \) (последняя цифра \( 6 \))

\( 4^3 = 64 \) (последняя цифра \( 4 \))

\( 4^4 = 256 \) (последняя цифра \( 6 \))

Видим закономерность:

если показатель нечётный, последняя цифра \( 4 \);

если показатель чётный, последняя цифра \( 6 \).

Так как \( 40 \) — чётное число, то:

\( 4^{40} \) оканчивается на \( 6 \).

Тогда:

\( 4^{40} — 1 \)

по последней цифре равно \( 6 — 1 = 5 \), значит число оканчивается на \( 5 \).

Любое число, оканчивающееся на \( 5 \), делится на \( 5 \).

Следовательно:

\( 4^{40} — 1 \) делится нацело на \( 5 \).

2) Докажем, что \( 2004^{171} + 171^{2004} \) делится на \( 5 \).

Найдём последнюю цифру каждого слагаемого отдельно, затем сложим последние цифры.

Сначала рассмотрим \( 2004^{171} \).

Число \( 2004 \) оканчивается на \( 4 \), значит последняя цифра \( 2004^{171} \) совпадает с последней цифрой \( 4^{171} \).

Мы уже знаем цикл последних цифр степеней числа \( 4 \):

при нечётном показателе последняя цифра \( 4 \), при чётном — \( 6 \).

Показатель \( 171 \) нечётный, значит:

\( 4^{171} \) оканчивается на \( 4 \)

Следовательно:

\( 2004^{171} \) оканчивается на \( 4 \).

Теперь рассмотрим \( 171^{2004} \).

Число \( 171 \) оканчивается на \( 1 \), значит последняя цифра \( 171^{2004} \) совпадает с последней цифрой \( 1^{2004} \).

Но \( 1 \) в любой натуральной степени остаётся \( 1 \):

\( 1^{2004} = 1 \)

Следовательно:

\( 171^{2004} \) оканчивается на \( 1 \).

Теперь сложим последние цифры двух слагаемых:

\( 2004^{171} + 171^{2004} \) оканчивается так же, как \( 4 + 1 \).

\( 4 + 1 = 5 \)

Значит сумма оканчивается на \( 5 \).

Любое число, оканчивающееся на \( 5 \), делится на \( 5 \).

Следовательно:

\( 2004^{171} + 171^{2004} \) делится нацело на \( 5 \).