ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте число 171 в виде дроби, числитель которой является девятой степенью натурального числа, а знаменатель — десятой.

\( 171 = \frac{(171^a)^9}{(171^b)^{10}} = \frac{(171^9)^a}{(171^{18})^b} \).

Чтобы найти \( a \) и \( b \) запишем следующее выражение, так как \( a^n : b^m = a^{n-m} \), и, в данном случае, степень числителя должна быть на 1 больше:

\( 9a — 10b = 1 \)

\( 10b = 9a — 1 \)

\( b = \frac{9a — 1}{10} \).

Выражение \( 9a — 1 \) должно делиться нацело на 10, выбираем наименьшее число, подходящее по условию:

\( 9a — 1 = 80 \)

\( 9a = 81 \)

\( a = 9 \).

Тогда, \( b = \frac{9a — 1}{10} = \frac{80}{10} = 8 \).

Нужно представить число \( 171 \) в виде дроби:

\( 171 = \frac{N}{D} \)

такой, что числитель \( N \) является девятой степенью натурального числа, то есть \( N = x^9 \), а знаменатель \( D \) является десятой степенью натурального числа, то есть \( D = y^{10} \), где \( x \) и \( y \) — натуральные числа.

Тогда задача сводится к поиску натуральных \( x \) и \( y \), для которых:

\( 171 = \frac{x^9}{y^{10}} \)

Так как в дроби удобно использовать одно и то же основание \( 171 \), попробуем взять:

\( x = 171^a \)

\( y = 171^b \)

где \( a \) и \( b \) — натуральные числа (или целые неотрицательные, но здесь получится натуральное).

Тогда:

\( x^9 = (171^a)^9 \)

\( y^{10} = (171^b)^{10} \)

Подставляем в нужную форму:

\( \frac{x^9}{y^{10}} = \frac{(171^a)^9}{(171^b)^{10}} \)

Используем правило степени степени: \( (u^m)^n = u^{m \cdot n} \).

\( (171^a)^9 = 171^{9a} \)

\( (171^b)^{10} = 171^{10b} \)

Тогда дробь равна:

\( \frac{171^{9a}}{171^{10b}} \)

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{u^m}{u^n} = u^{m-n} \).

\( \frac{171^{9a}}{171^{10b}} = 171^{9a-10b} \)

Нам нужно, чтобы эта степень была равна \( 171^1 \), потому что \( 171 = 171^1 \).

Значит показатель должен быть равен \( 1 \):

\( 9a — 10b = 1 \)

Теперь найдём натуральные \( a \) и \( b \), которые удовлетворяют этому уравнению.

Выразим \( b \):

\( 10b = 9a — 1 \)

\( b = \frac{9a — 1}{10} \)

Чтобы \( b \) было натуральным числом, выражение \( 9a — 1 \) должно делиться на \( 10 \) без остатка.

То есть нужно подобрать такое \( a \), чтобы \( 9a — 1 \) оканчивалось на \( 0 \).

Проверим остатки \( 9a \) по модулю \( 10 \). Так как \( 9 \equiv -1 \pmod{10} \), то:

\( 9a \equiv -a \pmod{10} \)

Требуем:

\( 9a — 1 \equiv 0 \pmod{10} \)

То есть:

\( 9a \equiv 1 \pmod{10} \)

А значит:

\( -a \equiv 1 \pmod{10} \)

\( a \equiv -1 \pmod{10} \)

\( a \equiv 9 \pmod{10} \)

Наименьшее натуральное \( a \), удовлетворяющее этому, равно \( 9 \).

Подставим \( a = 9 \) в формулу для \( b \):

\( b = \frac{9a — 1}{10} = \frac{9 \cdot 9 — 1}{10} \)

\( 9 \cdot 9 = 81 \)

\( 81 — 1 = 80 \)

\( b = \frac{80}{10} = 8 \)

Итак, \( a = 9 \), \( b = 8 \).

Подставим в искомую дробь:

\( 171 = \frac{(171^a)^9}{(171^b)^{10}} = \frac{(171^9)^9}{(171^8)^{10}} \)

Проверим, что действительно получается \( 171 \):

\( \frac{(171^9)^9}{(171^8)^{10}} = \frac{171^{9 \cdot 9}}{171^{8 \cdot 10}} = \frac{171^{81}}{171^{80}} = 171^{81-80} = 171^1 = 171 \)

Значит нужное представление найдено:

\( 171 = \frac{(171^9)^9}{(171^8)^{10}} \)

Числитель \( (171^9)^9 \) является девятой степенью натурального числа \( 171^9 \), а знаменатель \( (171^8)^{10} \) является десятой степенью натурального числа \( 171^8 \).