ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде дроби, числитель которой является четвёртой степенью натурального числа, а знаменатель — пятой.

Пусть дано натуральное число \( n \), тогда:

\( n = \frac{(n^a)^4}{(n^b)^5} \).

Чтобы найти \( a \) и \( b \) запишем следующее выражение, так как \( a^n : b^m = a^{n-m} \), и, в данном случае, степень числителя должна быть на 1 больше:

\( 4a — 5b = 1 \)

\( 5b = 4a — 1 \)

\( b = \frac{4a — 1}{5} \).

Выражение \( 4a — 1 \) должно делиться нацело на 10, выбираем наименьшее число, подходящее по условию:

\( 4a — 1 = 15 \)

\( 4a = 16 \)

\( a = 4 \).

Тогда, \( b = \frac{4a — 1}{5} = \frac{15}{5} = 3 \).

Следовательно, любое натуральное число можно представить в виде дроби, числитель которой является четвертой степенью натурального числа, а знаменатель — пятой.

Пусть дано произвольное натуральное число \( n \).

Нужно доказать, что существует такая дробь вида:

\( n = \frac{A}{B} \)

где \( A \) является четвёртой степенью некоторого натурального числа, то есть \( A = x^4 \), а \( B \) является пятой степенью некоторого натурального числа, то есть \( B = y^5 \), причём \( x \) и \( y \) — натуральные числа.

То есть требуется показать, что можно подобрать натуральные \( x \) и \( y \), чтобы выполнялось:

\( n = \frac{x^4}{y^5} \)

Удобно построить такие \( x \) и \( y \), используя одно и то же основание \( n \), потому что \( n \) дано и натуральное.

Положим:

\( x = n^a \)

\( y = n^b \)

где \( a \) и \( b \) — натуральные числа, которые мы подберём.

Тогда:

\( x^4 = (n^a)^4 \)

\( y^5 = (n^b)^5 \)

Подставим в требуемую форму:

\( \frac{x^4}{y^5} = \frac{(n^a)^4}{(n^b)^5} \)

Используем правило степени степени: \( (u^m)^k = u^{m \cdot k} \).

\( (n^a)^4 = n^{4a} \)

\( (n^b)^5 = n^{5b} \)

Тогда дробь принимает вид:

\( \frac{n^{4a}}{n^{5b}} \)

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{u^p}{u^q} = u^{p-q} \).

\( \frac{n^{4a}}{n^{5b}} = n^{4a-5b} \)

Нам нужно, чтобы это было равно \( n \), то есть \( n^1 \).

Значит показатель должен быть равен \( 1 \):

\( 4a — 5b = 1 \)

Теперь нужно найти натуральные \( a \) и \( b \), удовлетворяющие уравнению:

\( 4a — 5b = 1 \)

Выразим \( b \) через \( a \):

\( 5b = 4a — 1 \)

\( b = \frac{4a — 1}{5} \)

Чтобы \( b \) было натуральным числом, выражение \( 4a — 1 \) должно делиться на \( 5 \) без остатка.

Подберём наименьшее натуральное \( a \), при котором \( 4a — 1 \) делится на \( 5 \).

Проверим значения \( 4a — 1 \) по очереди:

\( a = 1 \Rightarrow 4a — 1 = 4 — 1 = 3 \) (не делится на \( 5 \))

\( a = 2 \Rightarrow 4a — 1 = 8 — 1 = 7 \) (не делится на \( 5 \))

\( a = 3 \Rightarrow 4a — 1 = 12 — 1 = 11 \) (не делится на \( 5 \))

\( a = 4 \Rightarrow 4a — 1 = 16 — 1 = 15 \) (делится на \( 5 \))

Значит можно взять:

\( 4a — 1 = 15 \)

Тогда:

\( a = 4 \)

Найдём \( b \):

\( b = \frac{4a — 1}{5} = \frac{15}{5} = 3 \)

Итак, подходит пара \( a = 4 \), \( b = 3 \).

Подставим эти значения в построенную дробь:

\( n = \frac{(n^a)^4}{(n^b)^5} = \frac{(n^4)^4}{(n^3)^5} \)

Проверим, что это действительно равно \( n \):

\( \frac{(n^4)^4}{(n^3)^5} = \frac{n^{4 \cdot 4}}{n^{3 \cdot 5}} = \frac{n^{16}}{n^{15}} = n^{16-15} = n^1 = n \)

Теперь убедимся, что числитель и знаменатель имеют нужный вид:

Числитель \( (n^4)^4 \) является четвёртой степенью натурального числа \( n^4 \).

Знаменатель \( (n^3)^5 \) является пятой степенью натурального числа \( n^3 \).

Так как \( n \) — натуральное, то \( n^4 \) и \( n^3 \) тоже натуральные.

Следовательно, для любого натурального \( n \) существует представление:

\( n = \frac{(n^4)^4}{(n^3)^5} \)

то есть любое натуральное число можно представить в виде дроби, числитель которой является четвёртой степенью натурального числа, а знаменатель — пятой.