ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.53 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существует ли такое натуральное число, при умножении которого на 2 будет получен квадрат натурального числа, при умножении на 3 — куб натурального числа, при умножении на 5 — пятая степень натурального числа?

Да, такое число существует.

1) При умножении числа на 2 должен извлекаться квадрат, значит, в число входит 2 в нечетной степени, 3 в четной, 5 в четной.

2) Показатель степени числа 2 должен быть кратен 3 и 5.

3) Показатель степени числа 3 должен быть кратен 2 и 5, а после прибавления к нему единицы — быть кратен 3.

4) Показатель степени числа 5 должен быть кратен 2 и 3, а после прибавления к нему единицы — быть кратен 5.

Таких чисел может быть бесконечное множество.

Например, наименьшее из них: \( 2^{15} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24} \).

Показатель степени числа 2 делится на 3 и 5;

показатель степени числа 3 делится на 2 и 5, а если прибавить единицу, то делится на 3;

показатель степени числа 5 делится на 2 и 3, а если прибавить единицу, то делится на 5.

Пусть искомое натуральное число равно \( N \). Требуется, чтобы выполнялись три условия:

\( 2N \) — квадрат натурального числа, то есть \( 2N = x^2 \);

\( 3N \) — куб натурального числа, то есть \( 3N = y^3 \);

\( 5N \) — пятая степень натурального числа, то есть \( 5N = z^5 \),

где \( x \), \( y \), \( z \) — натуральные числа.

Рассмотрим разложение \( N \) по простым множителям. Так как в условиях участвуют только простые числа \( 2 \), \( 3 \), \( 5 \), будем искать \( N \) в виде:

\( N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \), где \( a \), \( b \), \( c \) — целые неотрицательные числа.

Теперь перепишем каждое условие через показатели степеней.

1) Условие \( 2N \) — квадрат.

\( 2N = 2 \cdot 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c = 2^{a+1} \cdot 3^b \cdot 5^c \)

Чтобы число было квадратом, показатели степеней всех простых множителей должны быть чётными.

Значит:

\( a+1 \) — чётное;

\( b \) — чётное;

\( c \) — чётное.

2) Условие \( 3N \) — куб.

\( 3N = 3 \cdot 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c = 2^a \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c \)

Чтобы число было кубом, показатели степеней всех простых множителей должны делиться на \( 3 \).

Значит:

\( a \) делится на \( 3 \);

\( b+1 \) делится на \( 3 \);

\( c \) делится на \( 3 \).

3) Условие \( 5N \) — пятая степень.

\( 5N = 5 \cdot 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^{c+1} \)

Чтобы число было пятой степенью, показатели степеней всех простых множителей должны делиться на \( 5 \).

Значит:

\( a \) делится на \( 5 \);

\( b \) делится на \( 5 \);

\( c+1 \) делится на \( 5 \).

Итак, получаем систему условий на показатели \( a \), \( b \), \( c \):

из квадрата: \( a+1 \) чётное, \( b \) чётное, \( c \) чётное;

из куба: \( a \) кратно \( 3 \), \( b+1 \) кратно \( 3 \), \( c \) кратно \( 3 \);

из пятой степени: \( a \) кратно \( 5 \), \( b \) кратно \( 5 \), \( c+1 \) кратно \( 5 \).

Теперь подберём такие \( a \), \( b \), \( c \), которые всем этим условиям удовлетворяют.

Подбор для \( a \):

\( a \) должно делиться на \( 3 \) и на \( 5 \), значит \( a \) должно делиться на \( 15 \).

Также \( a+1 \) должно быть чётным, то есть \( a \) должно быть нечётным.

Числа, кратные \( 15 \), чередуются по чётности: \( 15 \) нечётное, \( 30 \) чётное, \( 45 \) нечётное и т.д.

Минимальное подходящее значение:

\( a = 15 \).

Подбор для \( b \):

\( b \) должно быть чётным и делиться на \( 5 \), то есть \( b \) кратно \( 10 \).

Кроме того, \( b+1 \) должно делиться на \( 3 \).

Проверим наименьшие \( b \), кратные \( 10 \):

\( b = 10 \Rightarrow b+1 = 11 \) не делится на \( 3 \);

\( b = 20 \Rightarrow b+1 = 21 \) делится на \( 3 \).

Значит можно взять:

\( b = 20 \).

Подбор для \( c \):

\( c \) должно быть чётным и делиться на \( 3 \), значит \( c \) должно делиться на \( 6 \).

Кроме того, \( c+1 \) должно делиться на \( 5 \), то есть \( c \equiv 4 \pmod{5} \).

Переберём числа, кратные \( 6 \), пока не получим остаток \( 4 \) при делении на \( 5 \):

\( c = 6 \Rightarrow c+1 = 7 \) не делится на \( 5 \);

\( c = 12 \Rightarrow c+1 = 13 \) не делится на \( 5 \);

\( c = 18 \Rightarrow c+1 = 19 \) не делится на \( 5 \);

\( c = 24 \Rightarrow c+1 = 25 \) делится на \( 5 \).

Значит можно взять:

\( c = 24 \).

Итак, найден набор показателей:

\( a = 15 \), \( b = 20 \), \( c = 24 \).

Тогда искомое число:

\( N = 2^{15} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24} \)

Проверим условия.

1) Проверка квадрата: \( 2N \).

\( 2N = 2^{15+1} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24} = 2^{16} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24} \)

Показатели \( 16 \), \( 20 \), \( 24 \) чётные, значит это квадрат. Можно показать явно:

\( 2^{16} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24} = (2^8 \cdot 3^{10} \cdot 5^{12})^2 \)

2) Проверка куба: \( 3N \).

\( 3N = 2^{15} \cdot 3^{20+1} \cdot 5^{24} = 2^{15} \cdot 3^{21} \cdot 5^{24} \)

Показатели \( 15 \), \( 21 \), \( 24 \) делятся на \( 3 \), значит это куб. Явно:

\( 2^{15} \cdot 3^{21} \cdot 5^{24} = (2^5 \cdot 3^7 \cdot 5^8)^3 \)

3) Проверка пятой степени: \( 5N \).

\( 5N = 2^{15} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24+1} = 2^{15} \cdot 3^{20} \cdot 5^{25} \)

Показатели \( 15 \), \( 20 \), \( 25 \) делятся на \( 5 \), значит это пятая степень. Явно:

\( 2^{15} \cdot 3^{20} \cdot 5^{25} = (2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^5)^5 \)

Все три условия выполняются, значит такое натуральное число существует.

Причём таких чисел бесконечно много, потому что можно одновременно увеличивать \( a \), \( b \), \( c \), сохраняя все условия делимости показателей.

Например, одно из подходящих (и при таком подборе минимальное по показателям):

\( N = 2^{15} \cdot 3^{20} \cdot 5^{24} \).