ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

1) \( 126^{12} \) и \( 24^{18} \)

2) \( 31^{11} \) и \( 17^{14} \)

1) \( 126^{12} \) и \( 24^{18} \);

\( 126^{12} > 125^{12} \), значит, \( 126^{12} > (5^3)^{12} ⇒ 126^{12} > 5^{36} \);

\( 24^{18} < 25^{18} \), значит, \( 24^{18} < (5^2)^{18} ⇒ 24^{18} < 5^{36} \).

Следовательно, \( 126^{12} > 24^{18} \).

2) \( 31^{11} \) и \( 17^{14} \);

\( 31^{11} < 32^{11} \), значит, \( 31^{11} < (2^5)^{11} ⇒ 31^{11} < 2^{55} \);

\( 17^{14} > 16^{14} \), значит, \( 17^{14} > (2^4)^{14} ⇒ 17^{14} > 2^{56} \).

Следовательно, \( 31^{11} < 17^{14} \).

1) Сравнить \( 126^{12} \) и \( 24^{18} \).

Напрямую сравнивать такие степени неудобно, поэтому приведём обе величины к степеням одного и того же числа, используя приближённые оценки сверху и снизу.

Заметим, что число \( 126 \) немного больше \( 125 \), а число \( 24 \) немного меньше \( 25 \). Эти числа удобны, потому что:

\( 125 = 5^3 \),

\( 25 = 5^2 \).

Сначала оценим \( 126^{12} \) снизу.

Так как \( 126 > 125 \), то при возведении в одинаковую натуральную степень неравенство сохраняется:

\( 126^{12} > 125^{12} \)

Теперь заменим \( 125 \) на \( 5^3 \):

\( 125^{12} = (5^3)^{12} \)

Применим правило степени степени: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\( (5^3)^{12} = 5^{3 \cdot 12} = 5^{36} \)

Значит, получаем нижнюю оценку:

\( 126^{12} > 5^{36} \)

Теперь оценим \( 24^{18} \) сверху.

Так как \( 24 < 25 \), то при возведении в одинаковую натуральную степень неравенство сохраняется:

\( 24^{18} < 25^{18} \)

Заменим \( 25 \) на \( 5^2 \):

\( 25^{18} = (5^2)^{18} \)

Снова применим правило степени степени:

\( (5^2)^{18} = 5^{2 \cdot 18} = 5^{36} \)

Значит, имеем верхнюю оценку:

\( 24^{18} < 5^{36} \)

Итак, мы получили две оценки с одним и тем же числом \( 5^{36} \):

\( 126^{12} > 5^{36} \)

\( 24^{18} < 5^{36} \)

Если одно число больше \( 5^{36} \), а другое меньше \( 5^{36} \), то первое число больше второго:

\( 126^{12} > 24^{18} \)

Ответ для пункта 1: \( 126^{12} > 24^{18} \).

2) Сравнить \( 31^{11} \) и \( 17^{14} \).

Здесь удобно сравнивать степени через основания, близкие к степеням числа \( 2 \), потому что:

\( 32 = 2^5 \),

\( 16 = 2^4 \).

Сначала оценим \( 31^{11} \) сверху.

Так как \( 31 < 32 \), то при возведении в одинаковую натуральную степень получаем:

\( 31^{11} < 32^{11} \)

Теперь заменим \( 32 \) на \( 2^5 \):

\( 32^{11} = (2^5)^{11} \)

Используем правило степени степени:

\( (2^5)^{11} = 2^{5 \cdot 11} = 2^{55} \)

Значит:

\( 31^{11} < 2^{55} \)

Теперь оценим \( 17^{14} \) снизу.

Так как \( 17 > 16 \), то:

\( 17^{14} > 16^{14} \)

Заменим \( 16 \) на \( 2^4 \):

\( 16^{14} = (2^4)^{14} \)

Применим правило степени степени:

\( (2^4)^{14} = 2^{4 \cdot 14} = 2^{56} \)

Значит:

\( 17^{14} > 2^{56} \)

Теперь сравним полученные оценки:

\( 31^{11} < 2^{55} \)

\( 17^{14} > 2^{56} \)

Но \( 2^{56} = 2 \cdot 2^{55} \), поэтому:

\( 2^{56} > 2^{55} \)

Следовательно, число \( 17^{14} \) больше \( 2^{56} \), а \( 31^{11} \) меньше \( 2^{55} \). Значит, \( 17^{14} \) тем более больше \( 31^{11} \):

\( 31^{11} < 17^{14} \)

Ответ для пункта 2: \( 31^{11} < 17^{14} \).