ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.55 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что \(48^{25} < 344^{17}\).

\(48^{25} < 344^{17}\);

\(48^{25} < 49^{25}\), значит, \(48^{25} < (7^2)^{25}\) ⇒ \(48^{25} < 7^{50}\);

\(344^{17} > 343^{17}\), значит, \(344^{17} > (7^3)^{17}\) ⇒ \(344^{17} > 7^{51}\).

Следовательно, \(48^{25} < 7^{50} < 7^{51} < 344^{17}\) → что и требовалось доказать.

Докажем неравенство \(48^{25} < 344^{17}\).

1) Сравним число \(48\) с удобной степенью числа \(7\).

Заметим, что \(48 < 49\), так как \(49 — 48 = 1\).

Возведём обе части этого неравенства в натуральную степень \(25\). Это можно сделать, потому что для положительных чисел при возведении в одну и ту же натуральную степень знак неравенства сохраняется: если \(a < b\) и \(a > 0\), \(b > 0\), то \(a^{n} < b^{n}\) при \(n \in \mathbb{N}\).

Получаем \(48^{25} < 49^{25}\).

2) Преобразуем \(49^{25}\) через степень числа \(7\).

Так как \(49 = 7^2\), имеем

\(49^{25} = (7^2)^{25}\).

Используем правило степеней \((a^m)^n = a^{mn}\):

\((7^2)^{25} = 7^{2 \cdot 25} = 7^{50}\).

Значит, из пункта 1 следует цепочка:

\(48^{25} < 49^{25} = 7^{50}\).

Итак, мы получили оценку сверху:

\(48^{25} < 7^{50}\).

3) Теперь оценим снизу число \(344^{17}\) через степень числа \(7\).

Заметим, что \(344 > 343\), так как \(344 — 343 = 1\).

Снова возведём обе части в натуральную степень \(17\). Для положительных чисел это сохраняет знак неравенства:

\(344^{17} > 343^{17}\).

4) Преобразуем \(343^{17}\) через степень числа \(7\).

Так как \(343 = 7^3\), имеем

\(343^{17} = (7^3)^{17}\).

По правилу степеней \((a^m)^n = a^{mn}\):

\((7^3)^{17} = 7^{3 \cdot 17} = 7^{51}\).

Значит, из пункта 3 следует:

\(344^{17} > 343^{17} = 7^{51}\).

Итак, мы получили оценку снизу:

\(344^{17} > 7^{51}\).

5) Сравним полученные степени \(7^{50}\) и \(7^{51}\).

Так как основание \(7 > 1\), то при увеличении показателя степень возрастает. В частности,

\(7^{51} = 7 \cdot 7^{50}\).

А поскольку \(7 > 1\), то \(7 \cdot 7^{50} > 1 \cdot 7^{50}\), значит

\(7^{51} > 7^{50}\), то есть \(7^{50} < 7^{51}\).

6) Соберём всё в одну цепочку.

Из пунктов 2 и 4 мы знаем:

\(48^{25} < 7^{50}\) и \(7^{51} < 344^{17}\) (потому что \(344^{17} > 7^{51}\)).

Из пункта 5: \(7^{50} < 7^{51}\).

Значит, можно записать последовательную цепочку неравенств:

\(48^{25} < 7^{50} < 7^{51} < 344^{17}\).

Из неё непосредственно следует нужный результат:

\(48^{25} < 344^{17}\).

Что и требовалось доказать.