ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.56 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Число \(\frac{1}{5^{100}}\) записали в виде конечной десятичной дроби. Найдите последнюю цифру этой записи.

\(\frac{1}{5^{100}} = \frac{2^{100}}{5^{100} \cdot 2^{100}} = \frac{2^{100}}{10^{100}}\) → искомая цифра равна последней цифре значения выражения \(2^{100}\). Это цифра 6, так как \((2^4)^{25}\) оканчивается на 6. Значит, значение выражения \(\frac{2^{100}}{10^{100}}\) тоже оканчивается на 6.

Следовательно, значение выражения \(\frac{1}{5^{100}}\) оканчивается на 6.

Ответ: 6.

Нужно записать число \(\frac{1}{5^{100}}\) в виде конечной десятичной дроби и найти последнюю цифру этой записи.

1) Поймём, почему десятичная дробь будет конечной.

Десятичная дробь числа \(\frac{1}{5^{100}}\) конечна, потому что в знаменателе стоит степень числа \(5\), а десятичная система связана с числом \(10 = 2 \cdot 5\). Если домножить дробь на подходящую степень \(2\), то в знаменателе получится степень \(10\), и тогда дробь будет иметь вид \(\frac{\text{целое}}{10^{n}}\), то есть будет конечной десятичной дробью.

2) Приведём знаменатель к виду \(10^{100}\).

Домножим числитель и знаменатель на \(2^{100}\):

\(\frac{1}{5^{100}} = \frac{1 \cdot 2^{100}}{5^{100} \cdot 2^{100}} = \frac{2^{100}}{(5 \cdot 2)^{100}} = \frac{2^{100}}{10^{100}}.\)

Теперь число имеет вид \(\frac{2^{100}}{10^{100}}\). Это означает, что его десятичная запись получается так: нужно записать число \(2^{100}\) и перенести запятую на \(100\) знаков влево (то есть поставить его как целую часть, делённую на \(10^{100}\)).

3) Что означает «последняя цифра» конечной десятичной записи.

Если число записано как \(\frac{A}{10^{100}}\), где \(A = 2^{100}\) — целое число, то в десятичной записи после запятой будет ровно \(100\) цифр (возможно, с ведущими нулями). Последняя цифра этой десятичной записи — это цифра в самом конце, то есть цифра в разряде \(10^{-100}\).

При делении на \(10^{100}\) последняя цифра десятичной дроби совпадает с последней цифрой числа \(A\), потому что запись \(\frac{A}{10^{100}}\) буквально выглядит как «\(A\), но сдвинутое запятой», и последняя цифра после запятой берётся из единиц числа \(A\) (если \(A\) имеет меньше 100 цифр, то перед ним в дробной части дописываются нули, но последняя цифра всё равно определяется последней цифрой \(A\)).

Значит, задача сводится к нахождению последней цифры числа \(2^{100}\).

4) Найдём последнюю цифру \(2^{100}\) по циклу последних цифр степеней двойки.

Рассмотрим первые степени числа \(2\) и их последние цифры:

\(2^1 = 2\) — последняя цифра \(2\).

\(2^2 = 4\) — последняя цифра \(4\).

\(2^3 = 8\) — последняя цифра \(8\).

\(2^4 = 16\) — последняя цифра \(6\).

Продолжим ещё немного, чтобы увидеть закономерность:

\(2^5 = 32\) — последняя цифра снова \(2\).

\(2^6 = 64\) — последняя цифра снова \(4\).

\(2^7 = 128\) — последняя цифра снова \(8\).

\(2^8 = 256\) — последняя цифра снова \(6\).

Видно, что последние цифры повторяются с периодом \(4\):

\(2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \ldots\)

Это означает:

если показатель степени даёт остаток \(1\) при делении на \(4\), последняя цифра \(2\);

если остаток \(2\), последняя цифра \(4\);

если остаток \(3\), последняя цифра \(8\);

если остаток \(0\), последняя цифра \(6\).

5) Найдём остаток \(100\) при делении на \(4\).

\(100 = 4 \cdot 25\), значит, \(100\) делится на \(4\) без остатка, то есть остаток равен \(0\).

Следовательно, последняя цифра числа \(2^{100}\) равна \(6\).

6) Вернёмся к исходному числу \(\frac{1}{5^{100}}\).

Мы уже привели его к виду

\(\frac{1}{5^{100}} = \frac{2^{100}}{10^{100}}.\)

Десятичная запись \(\frac{2^{100}}{10^{100}}\) заканчивается той же цифрой, что и число \(2^{100}\), потому что деление на \(10^{100}\) только сдвигает запятую, не меняя последнюю цифру записанного справа числа.

А последняя цифра \(2^{100}\) равна \(6\), значит, и последняя цифра конечной десятичной записи числа \(\frac{1}{5^{100}}\) равна \(6\).

Ответ: \(6\).