ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.57 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существуют ли четыре таких натуральных числа, что каждое из них не делится нацело ни на одно из остальных, а квадрат каждого из этих чисел делится нацело на каждое из остальных?

Да, такие числа существуют.

Например, можно выбрать числа \(2^4 \cdot 3^7\); \(2^5 \cdot 3^6\); \(2^6 \cdot 3^5\); \(2^7 \cdot 3^4\).

Ни одно из этих чисел не делится на другое, потому что в каждом разложении либо множитель \(2\), либо множитель \(3\) имеет меньший показатель степени по сравнению с соответствующим множителем в другом числе. Если же возвести любое из выбранных чисел в квадрат, то и двойка, и тройка будут входить в его разложение с показателями степеней не меньше \(8\), поэтому квадрат любого такого числа делится на каждое из остальных чисел.

Да, такие четыре натуральных числа существуют. Ниже приведём конкретный пример и подробно проверим оба условия задачи.

Найдём четыре числа \(a_1, a_2, a_3, a_4\), для которых выполняется:

1) каждое число не делится нацело ни на одно из остальных;

2) квадрат каждого числа делится нацело на каждое из остальных.

Идея выбора.

Удобно брать числа, разложение которых по простым множителям содержит только два простых числа, например \(2\) и \(3\). Тогда каждое число имеет вид \(2^x \cdot 3^y\). Делимость таких чисел легко проверяется по показателям степеней.

Факт о делимости для чисел вида \(2^x \cdot 3^y\).

Пусть \(A = 2^{x_1} \cdot 3^{y_1}\) и \(B = 2^{x_2} \cdot 3^{y_2}\), где \(x_1, x_2, y_1, y_2\) — натуральные числа (или неотрицательные, если разрешать степень \(0\)). Тогда

\(A\) делится на \(B\) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия \(x_1 \ge x_2\) и \(y_1 \ge y_2\).

Причина проста: чтобы \(B\) делило \(A\), в \(A\) должно быть не меньше двоек и не меньше троек, чем в \(B\).

Подберём четыре числа.

Возьмём такие числа:

\(a_1 = 2^4 \cdot 3^7\),

\(a_2 = 2^5 \cdot 3^6\),

\(a_3 = 2^6 \cdot 3^5\),

\(a_4 = 2^7 \cdot 3^4\).

Заметим важную закономерность: у всех этих чисел сумма показателей равна \(11\):

\(4 + 7 = 11\), \(5 + 6 = 11\), \(6 + 5 = 11\), \(7 + 4 = 11\).

При этом чем больше показатель у \(2\), тем меньше показатель у \(3\), и наоборот.

Проверка условия 1: ни одно из чисел не делится на другое.

Покажем общий принцип: если взять два разных числа из списка, то у одного показатель при \(2\) больше, но при \(3\) меньше, чем у другого. Тогда делимость невозможна, потому что для делимости нужно, чтобы оба показателя не уменьшались одновременно.

Распишем попарно для наглядности.

Сравним \(a_1 = 2^4 \cdot 3^7\) и \(a_2 = 2^5 \cdot 3^6\).

Чтобы \(a_1\) делилось на \(a_2\), нужно было бы \(4 \ge 5\) и \(7 \ge 6\). Первое неверно, значит \(a_1\) не делится на \(a_2\).

Чтобы \(a_2\) делилось на \(a_1\), нужно было бы \(5 \ge 4\) и \(6 \ge 7\). Второе неверно, значит \(a_2\) не делится на \(a_1\).

Сравним \(a_2 = 2^5 \cdot 3^6\) и \(a_3 = 2^6 \cdot 3^5\).

Для \(a_2\) на \(a_3\) нужно \(5 \ge 6\) и \(6 \ge 5\). Первое неверно, значит \(a_2\) не делится на \(a_3\).

Для \(a_3\) на \(a_2\) нужно \(6 \ge 5\) и \(5 \ge 6\). Второе неверно, значит \(a_3\) не делится на \(a_2\).

Сравним \(a_3 = 2^6 \cdot 3^5\) и \(a_4 = 2^7 \cdot 3^4\).

Для \(a_3\) на \(a_4\) нужно \(6 \ge 7\) и \(5 \ge 4\). Первое неверно, значит \(a_3\) не делится на \(a_4\).

Для \(a_4\) на \(a_3\) нужно \(7 \ge 6\) и \(4 \ge 5\). Второе неверно, значит \(a_4\) не делится на \(a_3\).

Остались пары, которые отличаются сильнее.

Сравним \(a_1 = 2^4 \cdot 3^7\) и \(a_3 = 2^6 \cdot 3^5\).

Для \(a_1\) на \(a_3\) нужно \(4 \ge 6\) и \(7 \ge 5\). Первое неверно, значит \(a_1\) не делится на \(a_3\).

Для \(a_3\) на \(a_1\) нужно \(6 \ge 4\) и \(5 \ge 7\). Второе неверно, значит \(a_3\) не делится на \(a_1\).

Сравним \(a_1 = 2^4 \cdot 3^7\) и \(a_4 = 2^7 \cdot 3^4\).

Для \(a_1\) на \(a_4\) нужно \(4 \ge 7\) и \(7 \ge 4\). Первое неверно, значит \(a_1\) не делится на \(a_4\).

Для \(a_4\) на \(a_1\) нужно \(7 \ge 4\) и \(4 \ge 7\). Второе неверно, значит \(a_4\) не делится на \(a_1\).

Сравним \(a_2 = 2^5 \cdot 3^6\) и \(a_4 = 2^7 \cdot 3^4\).

Для \(a_2\) на \(a_4\) нужно \(5 \ge 7\) и \(6 \ge 4\). Первое неверно, значит \(a_2\) не делится на \(a_4\).

Для \(a_4\) на \(a_2\) нужно \(7 \ge 5\) и \(4 \ge 6\). Второе неверно, значит \(a_4\) не делится на \(a_2\).

Итак, мы проверили все пары и убедились, что ни одно из четырёх чисел не делится на другое. Условие 1 выполнено.

Проверка условия 2: квадрат каждого числа делится на каждое из остальных.

Сначала найдём квадраты наших чисел в разложении на простые множители. Если \(a = 2^x \cdot 3^y\), то

\(a^2 = (2^x \cdot 3^y)^2 = 2^{2x} \cdot 3^{2y}\).

Вычислим показатели степеней у квадратов:

\(a_1^2 = (2^4 \cdot 3^7)^2 = 2^{8} \cdot 3^{14}\).

\(a_2^2 = (2^5 \cdot 3^6)^2 = 2^{10} \cdot 3^{12}\).

\(a_3^2 = (2^6 \cdot 3^5)^2 = 2^{12} \cdot 3^{10}\).

\(a_4^2 = (2^7 \cdot 3^4)^2 = 2^{14} \cdot 3^{8}\).

Теперь нужно показать: для любых разных \(i\) и \(j\) число \(a_i^2\) делится на \(a_j\).

По критерию делимости достаточно проверить, что показатели у \(2\) и \(3\) в \(a_i^2\) не меньше, чем в \(a_j\).

Заметим ключевое: у каждого квадрата показатели при \(2\) и при \(3\) не меньше \(8\):

для \(a_1^2\): показатели \(8\) и \(14\);

для \(a_2^2\): показатели \(10\) и \(12\);

для \(a_3^2\): показатели \(12\) и \(10\);

для \(a_4^2\): показатели \(14\) и \(8\).

А у исходных чисел \(a_1, a_2, a_3, a_4\) показатели лежат в диапазоне от \(4\) до \(7\):

у \(a_1\) это \(4\) и \(7\);

у \(a_2\) это \(5\) и \(6\);

у \(a_3\) это \(6\) и \(5\);

у \(a_4\) это \(7\) и \(4\).

Следовательно, для любого \(i\) и любого \(j\) выполняются неравенства:

\(2x_i \ge 8 \ge x_j\) и \(2y_i \ge 8 \ge y_j\),

то есть показатели в \(a_i^2\) по каждому простому множителю не меньше, чем показатели в \(a_j\).

Чтобы не оставалось сомнений, проверим делимость на примерах по строкам (аналогично проверяются и остальные).

Проверим, что \(a_1^2\) делится на \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\):

\(a_1^2 = 2^8 \cdot 3^{14}\).

Для делимости на \(a_2 = 2^5 \cdot 3^6\) нужно \(8 \ge 5\) и \(14 \ge 6\) — верно, значит \(a_1^2\) делится на \(a_2\).

Для делимости на \(a_3 = 2^6 \cdot 3^5\) нужно \(8 \ge 6\) и \(14 \ge 5\) — верно, значит \(a_1^2\) делится на \(a_3\).

Для делимости на \(a_4 = 2^7 \cdot 3^4\) нужно \(8 \ge 7\) и \(14 \ge 4\) — верно, значит \(a_1^2\) делится на \(a_4\).

Проверим, что \(a_4^2\) делится на \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\):

\(a_4^2 = 2^{14} \cdot 3^{8}\).

Для делимости на \(a_1 = 2^4 \cdot 3^7\) нужно \(14 \ge 4\) и \(8 \ge 7\) — верно, значит \(a_4^2\) делится на \(a_1\).

Для делимости на \(a_2 = 2^5 \cdot 3^6\) нужно \(14 \ge 5\) и \(8 \ge 6\) — верно, значит \(a_4^2\) делится на \(a_2\).

Для делимости на \(a_3 = 2^6 \cdot 3^5\) нужно \(14 \ge 6\) и \(8 \ge 5\) — верно, значит \(a_4^2\) делится на \(a_3\).

Аналогично проверяются \(a_2^2\) и \(a_3^2\): у них показатели \(10,12\) и \(12,10\), которые тоже не меньше соответствующих показателей \(4,5,6,7\) у любого \(a_j\). Поэтому квадрат каждого из чисел делится на каждое из остальных.

Условие 2 выполнено.

Вывод.

Мы нашли конкретные четыре натуральных числа \(2^4 \cdot 3^7\), \(2^5 \cdot 3^6\), \(2^6 \cdot 3^5\), \(2^7 \cdot 3^4\), для которых:

1) ни одно не делится на другое;

2) квадрат каждого делится на любое из остальных.

Следовательно, такие четыре натуральных числа существуют.