ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.58 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Задача из русского фольклора.) Кум Иван спросил у кума Степана: «Сколько у тебя уток?» Кум Степан ответил: «Уток у меня столько, что как высидят они мне ещё столько утят, да ещё куплю одну утку, да ещё трижды куплю столько, сколько этих уток и утят, то всего будет их у меня 100». Сколько уток было у кума Степана?

Пусть у кума Степана \(x\) уток.

Составим уравнение по условию задачи:

\(x + x + 1 + 3(x + x + 1) = 100\)

\(2x + 1 + 3 \cdot (2x + 1) = 100\)

\(2x + 1 + 6x + 3 = 100\)

\(8x = 100 — 4\)

\(8x = 96\)

\(x = 12\) (уток).

Ответ: 12 уток.

Кум Иван спросил у кума Степана: «Сколько у тебя уток?» Кум Степан ответил: «Уток у меня столько, что как высидят они мне ещё столько утят, да ещё куплю одну утку, да ещё трижды куплю столько, сколько этих уток и утят, то всего будет их у меня 100». Нужно найти, сколько уток было у кума Степана.

1) Введём обозначение.

Пусть у кума Степана было \(x\) уток. Это именно исходное количество уток, которое нужно найти.

2) Разберём фразу условия по частям и переведём её на язык выражений.

2.1) «Уток у меня столько…»

Это означает: исходно у него \(x\) уток.

2.2) «…что как высидят они мне ещё столько утят…»

Если утки «высидят ещё столько утят», то утят станет столько же, сколько было уток, то есть появится \(x\) утят.

Тогда вместе уток и утят станет \(x + x = 2x\).

2.3) «…да ещё куплю одну утку…»

Это добавляет ещё \(1\) утку к уже имеющемуся количеству.

Тогда уток и утят станет \(2x + 1\).

2.4) «…да ещё трижды куплю столько, сколько этих уток и утят…»

Слова «столько, сколько этих уток и утят» относятся к уже полученному количеству \(2x + 1\) (то есть к числу, которое получилось после появления утят и покупки одной утки).

Слова «трижды куплю столько» означают: куплю в 3 раза больше этого количества, то есть добавлю ещё \(3(2x + 1)\) птиц.

Итак, к уже имеющимся \(2x + 1\) добавится ещё \(3(2x + 1)\).

3) Составим уравнение по условию.

По словам кума Степана, после всех действий всего птиц будет \(100\). Значит,

\((2x + 1) + 3(2x + 1) = 100.\)

Чтобы было видно исходное построение, можно записать так же в развёрнутом виде:

\(x + x + 1 + 3(x + x + 1) = 100.\)

Обе записи равносильны, так как \(x + x = 2x\).

4) Решим полученное уравнение пошагово.

Начнём с формы

\(2x + 1 + 3(2x + 1) = 100.\)

4.1) Раскроем скобки в произведении \(3(2x + 1)\).

Используем распределительное свойство умножения относительно сложения:

\(3(2x + 1) = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 = 6x + 3.\)

Тогда уравнение примет вид:

\(2x + 1 + 6x + 3 = 100.\)

4.2) Сгруппируем подобные слагаемые.

Слагаемые с \(x\): \(2x + 6x = 8x\).

Числовые слагаемые: \(1 + 3 = 4\).

Получаем:

\(8x + 4 = 100.\)

4.3) Перенесём число \(4\) в правую часть (вычтем \(4\) из обеих частей уравнения).

\(8x + 4 — 4 = 100 — 4.\)

\(8x = 96.\)

4.4) Разделим обе части уравнения на \(8\), чтобы найти \(x\).

\(x = \frac{96}{8}.\)

Выполним деление: \(96 : 8 = 12\), потому что \(8 \cdot 12 = 96\).

Значит,

\(x = 12.\)

5) Проверка по смыслу (чтобы убедиться, что всё соответствует условию).

Исходно уток \(x = 12\).

5.1) «Высидят ещё столько утят» → утят станет \(12\), всего станет \(12 + 12 = 24\).

5.2) «Куплю одну утку» → станет \(24 + 1 = 25\).

5.3) «Трижды куплю столько, сколько этих уток и утят» → добавит \(3 \cdot 25 = 75\).

Тогда всего будет \(25 + 75 = 100\), как и сказано в условии.

Проверка выполнена, значит ответ верный.

Ответ: \(12\) уток.