ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.59 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Один маляр может покрасить комнату за 6 ч, а другой — за 4 ч. Сначала первый маляр работал 2 ч, а потом к нему присоединился второй маляр. За сколько часов была покрашена комната?

1) За 1 ч первый маляр покрасит \(\frac{1}{6}\) часть комнаты, а второй — \(\frac{1}{4}\) часть комнаты.

Вместе они за 1 ч покрасят \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2+3}{12} = \frac{5}{12}\) часть комнаты.

2) Первый маляр за 2 ч покрасит:

\(2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (часть) — комнаты.

3) После этого им останется покрасить:

\(1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) (часть) — комнаты.

4) Оставшуюся часть комнаты они покрасят за:

\(\frac{2}{3} : \frac{5}{12} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{8}{5} = 1,6\) (ч).

5) Значит, комната была покрашена за:

\(2 + 1,6 = 3,6\) (ч).

Ответ: за 3,6 ч.

Дано: один маляр может покрасить комнату за \(6\) ч, другой — за \(4\) ч. Сначала первый работал \(2\) ч один, затем к нему присоединился второй. Нужно найти, за сколько часов (всего от начала работы) будет покрашена комната.

1) Переведём данные в «скорости работы» (производительность).

Если маляр красит всю комнату за \(T\) часов, то за \(1\) час он выполняет \(\frac{1}{T}\) части работы (части комнаты).

Значит:

первый маляр за \(1\) ч красит \(\frac{1}{6}\) комнаты;

второй маляр за \(1\) ч красит \(\frac{1}{4}\) комнаты.

2) Найдём, какую часть комнаты покрасит первый маляр за первые \(2\) часа.

За \(1\) час он делает \(\frac{1}{6}\) работы, значит за \(2\) часа сделает:

\(2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) комнаты.

Итак, за первые \(2\) часа покрашено \(\frac{1}{3}\) комнаты.

3) Найдём, какая часть комнаты останется после первых \(2\) часов.

Вся комната — это \(1\) (то есть \(\frac{1}{1}\)).

Осталось:

\(1 — \frac{1}{3} = \frac{3}{3} — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) комнаты.

Значит, после того как второй маляр присоединился, им нужно докрасить \(\frac{2}{3}\) комнаты.

4) Найдём общую скорость работы двух маляров, когда они работают вместе.

Если два человека выполняют работу одновременно, их скорости складываются, потому что за один и тот же час один делает свою долю, другой — свою долю.

За \(1\) час вместе они покрасят:

\(\frac{1}{6} + \frac{1}{4}.\)

Сложим дроби, приведя к общему знаменателю \(12\):

\(\frac{1}{6} = \frac{2}{12},\quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}.\)

Тогда

\(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}.\)

Итак, вместе они выполняют \(\frac{5}{12}\) комнаты за \(1\) час.

5) Найдём, сколько времени потребуется двум малярам вместе, чтобы докрасить оставшиеся \(\frac{2}{3}\) комнаты.

Если за \(1\) час выполняется \(\frac{5}{12}\) работы, то время на выполнение объёма \(\frac{2}{3}\) равно:

\(\frac{2}{3} : \frac{5}{12}.\)

Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь:

\(\frac{2}{3} : \frac{5}{12} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5}.\)

Перемножим и сократим:

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 5}.\)

Сократим \(\frac{12}{3} = 4\):

\(\frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{8}{5}.\)

Значит, вместе они докрасят оставшуюся часть за \(\frac{8}{5}\) часа.

6) Переведём \(\frac{8}{5}\) часа в десятичную дробь (если нужно) и/или в часы и минуты.

\(\frac{8}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1,6\) часа.

Можно также перевести \(0,6\) часа в минуты:

\(0,6 \cdot 60 = 36\) минут.

То есть \(\frac{8}{5}\) часа — это \(1\) ч \(36\) мин.

7) Найдём общее время от начала работы.

Сначала первый работал \(2\) часа, затем вместе они работали \(\frac{8}{5}\) часа.

Итого:

\(2 + \frac{8}{5} = \frac{10}{5} + \frac{8}{5} = \frac{18}{5} = 3,6\) часа.

В часах и минутах это:

\(3,6\) часа \(= 3\) часа \(+ 0,6\) часа \(= 3\) часа \(36\) минут.

Ответ: комната была покрашена за \(3,6\) часа (то есть за \(3\) ч \(36\) мин).