ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \(7^7 : 7^5 \);

2) \(10^{18} : 10^{14} \);

3) \(0,6^9 : 0,6^6 \);

4) \(\left(-1\frac{1}{8}\right)^5 : \left(-1\frac{1}{8}\right)^3 \).

1) \(7^7 : 7^5 = 7^{7-5} = 7^2 = 49\);

2) \(10^{18} : 10^{14} = 10^{18-14} = 10^4 = 10\,000\);

3) \(0,6^9 : 0,6^6 = 0,6^{9-6} = 0,6^3 = 0,216\);

4) \(\left(-1\frac{1}{8}\right)^5 : \left(-1\frac{1}{8}\right)^3 = \left(-\frac{9}{8}\right)^5 : \left(-\frac{9}{8}\right)^3 = \left(-\frac{9}{8}\right)^{5-3} =\)

\(= \left(-\frac{9}{8}\right)^2 = \frac{81}{64} = 1\frac{17}{64}\).

1) \(7^7 : 7^5\)

Шаг 1. Основание одинаковое: и в делимом, и в делителе стоит число \(7\).

Шаг 2. Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:

\(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \ne 0\).

Шаг 3. Здесь \(a = 7\), \(m = 7\), \(n = 5\), значит:

\(7^7 : 7^5 = 7^{7-5}\)

Шаг 4. Вычисляем разность показателей: \(7 — 5 = 2\).

\(7^{7-5} = 7^2\)

Шаг 5. Находим значение степени: \(7^2 = 7 \cdot 7 = 49\).

Итог:

\(7^7 : 7^5 = 7^2 = 49\).

2) \(10^{18} : 10^{14}\)

Шаг 1. Основание одинаковое: и в делимом, и в делителе стоит число \(10\).

Шаг 2. Применяем правило:

\(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \ne 0\).

Шаг 3. Здесь \(a = 10\), \(m = 18\), \(n = 14\), значит:

\(10^{18} : 10^{14} = 10^{18-14}\)

Шаг 4. Вычисляем разность показателей: \(18 — 14 = 4\).

\(10^{18-14} = 10^4\)

Шаг 5. Вычисляем \(10^4\):

\(10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000\).

Шаг 6. Записываем число в виде с разделителем разрядов, как в условии:

\(10000 = 10\,000\).

Итог:

\(10^{18} : 10^{14} = 10^4 = 10\,000\).

3) \(0,6^9 : 0,6^6\)

Шаг 1. Основание одинаковое: и в делимом, и в делителе стоит число \(0,6\).

Шаг 2. Применяем правило деления степеней:

\(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \ne 0\).

Шаг 3. Здесь \(a = 0,6\), \(m = 9\), \(n = 6\), значит:

\(0,6^9 : 0,6^6 = 0,6^{9-6}\)

Шаг 4. Вычисляем разность показателей: \(9 — 6 = 3\).

\(0,6^{9-6} = 0,6^3\)

Шаг 5. Находим \(0,6^3\):

\(0,6^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6\).

Шаг 6. Перемножим последовательно:

\(0,6 \cdot 0,6 = 0,36\).

Шаг 7. Теперь умножим на \(0,6\) ещё раз:

\(0,36 \cdot 0,6 = 0,216\).

Итог:

\(0,6^9 : 0,6^6 = 0,6^3 = 0,216\).

4) \(\left(-1\frac{1}{8}\right)^5 : \left(-1\frac{1}{8}\right)^3\)

Шаг 1. Основание одинаковое: в обоих выражениях стоит одно и то же основание \(\left(-1\frac{1}{8}\right)\).

Шаг 2. Чтобы удобнее работать со степенями, представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Шаг 3. Преобразуем \(\left(-1\frac{1}{8}\right)\).

Шаг 4. Смешанное число \(1\frac{1}{8}\) переводим в неправильную дробь:

\(1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}\).

Шаг 5. Так как число отрицательное, получаем:

\(\left(-1\frac{1}{8}\right) = -\frac{9}{8}\).

Шаг 6. Подставляем это основание в исходное выражение:

\(\left(-1\frac{1}{8}\right)^5 : \left(-1\frac{1}{8}\right)^3 = \left(-\frac{9}{8}\right)^5 : \left(-\frac{9}{8}\right)^3\).

Шаг 7. Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:

\(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \ne 0\).

Шаг 8. Здесь \(a = \left(-\frac{9}{8}\right)\), \(m = 5\), \(n = 3\), значит:

\(\left(-\frac{9}{8}\right)^5 : \left(-\frac{9}{8}\right)^3 = \left(-\frac{9}{8}\right)^{5-3}\).

Шаг 9. Вычисляем разность показателей: \(5 — 3 = 2\).

\(\left(-\frac{9}{8}\right)^{5-3} = \left(-\frac{9}{8}\right)^2\).

Шаг 10. Возводим дробь в квадрат. При возведении в квадрат знак становится положительным, потому что \( (-1)^2 = 1 \):

\(\left(-\frac{9}{8}\right)^2 = \left(\frac{9}{8}\right)^2\).

Шаг 11. Возводим в квадрат числитель и знаменатель:

\(\left(\frac{9}{8}\right)^2 = \frac{9^2}{8^2} = \frac{81}{64}\).

Шаг 12. Переводим неправильную дробь \(\frac{81}{64}\) в смешанное число.

Шаг 13. Делим \(81\) на \(64\):

\(81 = 64 \cdot 1 + 17\).

Шаг 14. Значит:

\(\frac{81}{64} = 1\frac{17}{64}\).

Итог:

\(\left(-1\frac{1}{8}\right)^5 : \left(-1\frac{1}{8}\right)^3 = \left(-\frac{9}{8}\right)^2 = \frac{81}{64} = 1\frac{17}{64}\).