ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.60 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

От пристани по течению реки отправилась на лодке группа туристов, рассчитывая вернуться через 4 ч. Скорость лодки в стоячей воде составляет 10 км/ч, а скорость течения — 2 км/ч. На какое наибольшее расстояние туристы могут отплыть от пристани, если они хотят перед возвращением сделать остановку на 2 ч?

1) Скорость лодки по течению реки:

\(10 + 2 = 12\) (км/ч).

2) Скорость лодки против течени реки:

\(10 — 2 = 8\) (км/ч).

3) В движении туристы планируют быть:

\(4 — 2 = 2\) (ч).

Пусть туристы могут отплыть на \(S\) км от пристани.

Тогда на путь по течению они затратят \(\frac{S}{12}\) ч, а на обратный путь \(\frac{S}{8}\) ч. При этом в движении они будут 2 ч.

Составим уравнение:

\(\frac{S}{12} + \frac{S}{8} = 2\)

\(\frac{2S + 3S}{24} = 2\)

\(5S = 2 \cdot 24\)

\(5S = 48\)

\(S = 9,6\) (км).

Ответ: на 9,6 км.

Дано: туристы отплывают от пристани по течению реки и хотят вернуться обратно через \(4\) ч (то есть общее время от отплытия до возвращения равно \(4\) ч). Скорость лодки в стоячей воде \(10\) км/ч, скорость течения \(2\) км/ч. Перед возвращением они хотят сделать остановку на \(2\) ч. Нужно найти наибольшее расстояние от пристани, на которое они могут отплыть.

1) Поясним, что означает «наибольшее расстояние».

Туристы плывут сначала по течению от пристани до некоторой точки, затем делают остановку, затем возвращаются обратно к пристани (это будет движение против течения). Чем дальше они уплывут, тем больше времени понадобится на путь туда и обратно. Чтобы расстояние было наибольшим, всё допустимое время, которое остаётся после остановки, должно быть использовано именно на движение (без «запаса»).

2) Найдём скорости лодки по течению и против течения.

Скорость по течению равна скорости в стоячей воде плюс скорость течения:

\(10 + 2 = 12\) км/ч.

Скорость против течения равна скорости в стоячей воде минус скорость течения:

\(10 — 2 = 8\) км/ч.

Значит:

по течению лодка идёт со скоростью \(12\) км/ч;

против течения лодка идёт со скоростью \(8\) км/ч.

3) Выделим время, которое туристы могут потратить именно на движение.

Общее время на всю поездку (включая остановку) равно \(4\) ч.

Остановка должна длиться \(2\) ч.

Значит, на движение туда и обратно остаётся:

\(4 — 2 = 2\) ч.

То есть сумма времени движения по течению и времени движения против течения должна быть равна \(2\) ч.

4) Введём неизвестное расстояние.

Пусть туристы отплывают от пристани на расстояние \(S\) км (это и есть искомое наибольшее расстояние).

Тогда путь «туда» по течению равен \(S\) км, и путь «обратно» против течения тоже равен \(S\) км.

5) Выразим время движения «туда» и «обратно» через \(S\).

Время равно \(\frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}\).

5.1) Время движения по течению (туда):

\(\frac{S}{12}\) ч, потому что скорость \(12\) км/ч.

5.2) Время движения против течения (обратно):

\(\frac{S}{8}\) ч, потому что скорость \(8\) км/ч.

6) Составим уравнение по условию.

Суммарное время движения равно \(2\) ч, значит:

\(\frac{S}{12} + \frac{S}{8} = 2.\)

7) Решим уравнение подробно.

7.1) Сложим дроби \(\frac{S}{12}\) и \(\frac{S}{8}\).

Найдём общий знаменатель для \(12\) и \(8\).

\(12 = 2^2 \cdot 3\), \(8 = 2^3\), поэтому \(\text{НОК}(12,8) = 2^3 \cdot 3 = 24\).

Приведём дроби к знаменателю \(24\):

\(\frac{S}{12} = \frac{S \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{2S}{24}\).

\(\frac{S}{8} = \frac{S \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3S}{24}\).

Теперь складываем:

\(\frac{S}{12} + \frac{S}{8} = \frac{2S}{24} + \frac{3S}{24} = \frac{2S + 3S}{24} = \frac{5S}{24}.\)

Значит, уравнение принимает вид:

\(\frac{5S}{24} = 2.\)

7.2) Умножим обе части уравнения на \(24\), чтобы избавиться от знаменателя.

\(\frac{5S}{24} \cdot 24 = 2 \cdot 24.\)

В левой части \(24\) сокращается:

\(5S = 48.\)

7.3) Разделим обе части на \(5\), чтобы найти \(S\).

\(S = \frac{48}{5}.\)

Выполним деление:

\(\frac{48}{5} = \frac{45}{5} + \frac{3}{5} = 9 + \frac{3}{5}.\)

\(\frac{3}{5} = 0,6\), значит

\(S = 9,6.\)

Итак, туристы могут отплыть на расстояние \(9,6\) км от пристани.

8) Проверка по времени (чтобы убедиться, что всё сходится ровно в \(4\) часа).

8.1) Время пути туда по течению при \(S = 9,6\):

\(\frac{9,6}{12} = 0,8\) ч.

8.2) Время пути обратно против течения:

\(\frac{9,6}{8} = 1,2\) ч.

8.3) Суммарное время движения:

\(0,8 + 1,2 = 2\) ч.

8.4) Добавим остановку \(2\) ч:

\(2 + 2 = 4\) ч.

Получилось ровно \(4\) часа, значит расстояние действительно максимально возможное при заданных условиях.

Ответ: \(9,6\) км.