ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.62 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В шестизначном числе первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13.

Пусть дано шестизначное число, в котором первая и четвертая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковые:

\(\overline{abcabc} = 100\,000a + 10\,000b + 1\,000c + 100a + 10b + c =\)

\(= 100\,100a + 10\,010b + 1\,001c = 1001(100a + 10b + c)\) → так как множитель 1001 кратен 7, 11 и 13, то и все данное шестизначное число кратно 7, 11 и 13.

\(\begin{array}{r|l}
1001 & 7 \\
143 & 11 \\
13 & 13 \\
1 & \\
\end{array}\)

Дано шестизначное число, у которого первая и четвёртая цифры равны, вторая и пятая равны, третья и шестая равны. Нужно доказать, что такое число кратно \(7\), \(11\) и \(13\).

1) Запишем вид такого шестизначного числа через его цифры.

Пусть первая цифра равна \(a\), вторая — \(b\), третья — \(c\). Тогда по условию четвёртая снова \(a\), пятая снова \(b\), шестая снова \(c\).

Значит, число имеет вид \(\overline{abcabc}\).

2) Запишем число \(\overline{abcabc}\) в разложении по разрядам.

Шестизначное число \(\overline{abcabc}\) означает:

в разряде сотен тысяч стоит \(a\);

в разряде десятков тысяч стоит \(b\);

в разряде тысяч стоит \(c\);

в разряде сотен стоит \(a\);

в разряде десятков стоит \(b\);

в разряде единиц стоит \(c\).

Тогда его значение равно:

\(\overline{abcabc} = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c.\)

3) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми цифрами.

Соберём отдельно слагаемые с \(a\), отдельно с \(b\), отдельно с \(c\):

\(\overline{abcabc} = (100000a + 100a) + (10000b + 10b) + (1000c + c).\)

Вынесем \(a\), \(b\), \(c\) за скобки в каждой группе:

\(100000a + 100a = a(100000 + 100),\)

\(10000b + 10b = b(10000 + 10),\)

\(1000c + c = c(1000 + 1).\)

Тогда

\(\overline{abcabc} = a(100000 + 100) + b(10000 + 10) + c(1000 + 1).\)

4) Упростим суммы в скобках.

\(100000 + 100 = 100100,\)

\(10000 + 10 = 10010,\)

\(1000 + 1 = 1001.\)

Подставим:

\(\overline{abcabc} = 100100a + 10010b + 1001c.\)

5) Вынесем общий множитель \(1001\).

Заметим, что:

\(100100 = 1001 \cdot 100,\) потому что \(1001 \cdot 100 = 100100\);

\(10010 = 1001 \cdot 10,\) потому что \(1001 \cdot 10 = 10010\);

\(1001 = 1001 \cdot 1.\)

Тогда

\(100100a + 10010b + 1001c = 1001 \cdot 100a + 1001 \cdot 10b + 1001 \cdot c.\)

Вынесем \(1001\) за скобки:

\(\overline{abcabc} = 1001(100a + 10b + c).\)

6) Что означает полученная формула.

Мы показали, что любое число вида \(\overline{abcabc}\) представляется как произведение

\(\overline{abcabc} = 1001 \cdot N,\)

где \(N = 100a + 10b + c\) — это трёхзначное число \(\overline{abc}\) (возможно, \(a\) может быть \(0\) только для числа, которое не будет шестизначным; так как число шестизначное, \(a \ne 0\), значит \(N\) действительно трёхзначное).

Следовательно, исходное шестизначное число делится на \(1001\) без остатка, то есть кратно \(1001\).

7) Разложим число \(1001\) на простые множители.

Нужно показать, что \(1001\) кратно \(7\), \(11\) и \(13\). Достаточно найти его разложение на множители.

7.1) Делим \(1001\) на \(7\):

\(1001 : 7 = 143\), потому что \(7 \cdot 143 = 1001\).

Значит:

\(1001 = 7 \cdot 143.\)

7.2) Разложим \(143\).

Проверим делимость \(143\) на \(11\):

\(143 : 11 = 13\), потому что \(11 \cdot 13 = 143\).

Значит:

\(143 = 11 \cdot 13.\)

7.3) Подставим это в разложение \(1001\):

\(1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot (11 \cdot 13) = 7 \cdot 11 \cdot 13.\)

Итак, мы получили разложение:

\(1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13.\)

8) Завершим доказательство кратности.

Из пункта 5 мы имеем:

\(\overline{abcabc} = 1001(100a + 10b + c).\)

А из пункта 7:

\(1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13.\)

Тогда

\(\overline{abcabc} = (7 \cdot 11 \cdot 13)\,(100a + 10b + c).\)

Это значит, что \(\overline{abcabc}\) делится на \(7\), делится на \(11\) и делится на \(13\), потому что оно представлено как произведение каждого из этих чисел на целое число.

9) Вывод.

Любое шестизначное число, у которого первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы, имеет вид \(\overline{abcabc}\) и представляется как

\(\overline{abcabc} = 1001(100a + 10b + c).\)

Так как \(1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13\), то это число кратно \(7\), \(11\) и \(13\).

Что и требовалось доказать.