ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде степени с основанием m выражение:

1) \((m^5)^3 \);

2) \((m^3)^4 \);

3) \(\left((m^2)^4\right)^6 \);

4) \((m^7)^2 \cdot (m^4)^9 \).

1) \((m^5)^3 = m^{5 \cdot 3} = m^{15}\);

2) \((m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}\);

3) \(\left((m^2)^4\right)^6 = m^{2 \cdot 4 \cdot 6} = m^{48}\);

4) \((m^7)^2 \cdot (m^4)^9 = m^{7 \cdot 2} \cdot m^{4 \cdot 9} = m^{14} \cdot m^{36} = m^{14+36} = m^{50}\).

Во всех пунктах используются правила степеней:

1) \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

2) \(a^u \cdot a^v = a^{u+v}\).

1) \((m^5)^3\)

Шаг 1. Основание степени внутри скобок равно \(m\), показатель внутри равен \(5\), внешний показатель равен \(3\).

Шаг 2. Применяем правило степени степени: \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

Шаг 3. Здесь \(a = m\), \(p = 5\), \(q = 3\), значит:

\((m^5)^3 = m^{5 \cdot 3}\)

Шаг 4. Перемножаем показатели: \(5 \cdot 3 = 15\).

\(m^{5 \cdot 3} = m^{15}\)

Итог:

\((m^5)^3 = m^{15}\).

2) \((m^3)^4\)

Шаг 1. Внутри скобок стоит \(m^3\), внешний показатель равен \(4\).

Шаг 2. Применяем правило степени степени: \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

Шаг 3. Здесь \(a = m\), \(p = 3\), \(q = 4\), поэтому:

\((m^3)^4 = m^{3 \cdot 4}\)

Шаг 4. Перемножаем показатели: \(3 \cdot 4 = 12\).

\(m^{3 \cdot 4} = m^{12}\)

Итог:

\((m^3)^4 = m^{12}\).

3) \(\left((m^2)^4\right)^6\)

Шаг 1. Выражение содержит «степень степени» два раза: сначала \((m^2)^4\), затем результат ещё возводится в степень \(6\).

Шаг 2. Сначала применим правило \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\) к внутренней части \((m^2)^4\).

Шаг 3. Здесь \(a = m\), \(p = 2\), \(q = 4\), значит:

\((m^2)^4 = m^{2 \cdot 4}\)

Шаг 4. Подставляем это во всё выражение:

\(\left((m^2)^4\right)^6 = \left(m^{2 \cdot 4}\right)^6\)

Шаг 5. Теперь снова применяем правило степени степени к \(\left(m^{2 \cdot 4}\right)^6\):

\(\left(m^{2 \cdot 4}\right)^6 = m^{(2 \cdot 4) \cdot 6}\)

Шаг 6. По свойствам умножения можно записать произведение трёх чисел без скобок:

\(m^{(2 \cdot 4) \cdot 6} = m^{2 \cdot 4 \cdot 6}\)

Шаг 7. Перемножаем показатели по порядку: \(2 \cdot 4 = 8\).

Шаг 8. Затем \(8 \cdot 6 = 48\).

Шаг 9. Получаем:

\(m^{2 \cdot 4 \cdot 6} = m^{48}\)

Итог:

\(\left((m^2)^4\right)^6 = m^{48}\).

4) \((m^7)^2 \cdot (m^4)^9\)

Шаг 1. Здесь произведение двух выражений, каждое из которых является «степенью степени».

Шаг 2. Сначала упростим каждую степень степени отдельно по правилу \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

Шаг 3. Для \((m^7)^2\):

Здесь \(a = m\), \(p = 7\), \(q = 2\), значит:

\((m^7)^2 = m^{7 \cdot 2}\)

Шаг 4. Перемножаем показатели: \(7 \cdot 2 = 14\).

\(m^{7 \cdot 2} = m^{14}\)

Шаг 5. Для \((m^4)^9\):

Здесь \(a = m\), \(p = 4\), \(q = 9\), значит:

\((m^4)^9 = m^{4 \cdot 9}\)

Шаг 6. Перемножаем показатели: \(4 \cdot 9 = 36\).

\(m^{4 \cdot 9} = m^{36}\)

Шаг 7. Теперь подставляем полученные результаты в исходное произведение:

\((m^7)^2 \cdot (m^4)^9 = m^{14} \cdot m^{36}\)

Шаг 8. Основания одинаковые (\(m\)), значит применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

\(a^u \cdot a^v = a^{u+v}\).

Шаг 9. Складываем показатели: \(14 + 36\).

\(m^{14} \cdot m^{36} = m^{14+36}\)

Шаг 10. Выполняем сложение: \(14 + 36 = 50\).

\(m^{14+36} = m^{50}\)

Итог:

\((m^7)^2 \cdot (m^4)^9 = m^{50}\).