ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде степени с основанием n выражение:

1) \((n^2)^8 \);

2) \((n^9)^5 \);

3) \(\left((n^3)^2\right)^{10} \);

4) \((n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2 \).

1) \((n^2)^8 = n^{2 \cdot 8} = n^{16}\);

2) \((n^9)^5 = n^{9 \cdot 5} = n^{45}\);

3) \(\left((n^3)^2\right)^{10} = n^{3 \cdot 2 \cdot 10} = n^{60}\);

4) \((n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2 = n^{12 \cdot 4} \cdot n^{21 \cdot 2} = n^{48} \cdot n^{42} = n^{48+42} = n^{90}\).

Будем пользоваться правилами степеней:

1) \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

2) \(a^u \cdot a^v = a^{u+v}\).

1) \((n^2)^8\)

Шаг 1. Видим выражение вида \((a^p)^q\): внутри скобок стоит \(n^2\), снаружи степень \(8\).

Шаг 2. Применяем правило степени степени: \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

Шаг 3. Здесь \(a = n\), \(p = 2\), \(q = 8\), поэтому:

\((n^2)^8 = n^{2 \cdot 8}\)

Шаг 4. Перемножаем показатели: \(2 \cdot 8 = 16\).

\(n^{2 \cdot 8} = n^{16}\)

Итог:

\((n^2)^8 = n^{16}\).

2) \((n^9)^5\)

Шаг 1. Это снова выражение вида \((a^p)^q\): внутри \(n^9\), внешний показатель \(5\).

Шаг 2. Применяем правило степени степени: \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

Шаг 3. Здесь \(a = n\), \(p = 9\), \(q = 5\), значит:

\((n^9)^5 = n^{9 \cdot 5}\)

Шаг 4. Перемножаем показатели: \(9 \cdot 5 = 45\).

\(n^{9 \cdot 5} = n^{45}\)

Итог:

\((n^9)^5 = n^{45}\).

3) \(\left((n^3)^2\right)^{10}\)

Шаг 1. Здесь «степень степени» применяется два раза: сначала \((n^3)^2\), затем результат возводится в степень \(10\).

Шаг 2. Упростим внутреннюю часть \((n^3)^2\) по правилу \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

Шаг 3. Для \((n^3)^2\): \(a = n\), \(p = 3\), \(q = 2\), значит:

\((n^3)^2 = n^{3 \cdot 2}\)

Шаг 4. Подставляем полученное выражение в исходное:

\(\left((n^3)^2\right)^{10} = \left(n^{3 \cdot 2}\right)^{10}\)

Шаг 5. Снова применяем правило степени степени к \(\left(n^{3 \cdot 2}\right)^{10}\):

\(\left(n^{3 \cdot 2}\right)^{10} = n^{(3 \cdot 2) \cdot 10}\)

Шаг 6. Записываем произведение без лишних скобок:

\(n^{(3 \cdot 2) \cdot 10} = n^{3 \cdot 2 \cdot 10}\)

Шаг 7. Перемножаем показатели: сначала \(3 \cdot 2 = 6\).

Шаг 8. Затем \(6 \cdot 10 = 60\).

Шаг 9. Получаем:

\(n^{3 \cdot 2 \cdot 10} = n^{60}\)

Итог:

\(\left((n^3)^2\right)^{10} = n^{60}\).

4) \((n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2\)

Шаг 1. Видим произведение двух выражений. Каждое из них — степень степени.

Шаг 2. Сначала упростим каждую часть отдельно по правилу \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\).

Шаг 3. Упростим \((n^{12})^4\):

Здесь \(a = n\), \(p = 12\), \(q = 4\), значит:

\((n^{12})^4 = n^{12 \cdot 4}\)

Шаг 4. Перемножаем показатели: \(12 \cdot 4 = 48\).

\(n^{12 \cdot 4} = n^{48}\)

Шаг 5. Упростим \((n^{21})^2\):

Здесь \(a = n\), \(p = 21\), \(q = 2\), значит:

\((n^{21})^2 = n^{21 \cdot 2}\)

Шаг 6. Перемножаем показатели: \(21 \cdot 2 = 42\).

\(n^{21 \cdot 2} = n^{42}\)

Шаг 7. Подставляем результаты в исходное произведение:

\((n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2 = n^{48} \cdot n^{42}\)

Шаг 8. Теперь основания одинаковые (\(n\)), значит применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

\(a^u \cdot a^v = a^{u+v}\).

Шаг 9. Складываем показатели \(48\) и \(42\):

\(n^{48} \cdot n^{42} = n^{48+42}\)

Шаг 10. Находим сумму: \(48 + 42 = 90\).

\(n^{48+42} = n^{90}\)

Итог:

\((n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2 = n^{90}\).