ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 8.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните умножение одночленов, где m и n — натуральные числа:

1) \(2\frac{5}{6}a^{n+2}b^{m+3} \cdot \frac{9}{17}a^{5n-4}b^{2m-1} \);

2) \(-7\frac{1}{3}a^{2n-1}b^{3n-1} \cdot 1\frac{1}{11}a^{n+6}b^{3n+1} \).

1) \(2\frac{5}{6}a^{n+2}b^{m+3} \cdot \frac{9}{17}a^{5n-4}b^{2m-1} = \frac{17}{6} \cdot \frac{9}{17} \cdot a^{n+2+5n-4} \cdot b^{m+3+2m-1} =\)

\(= \frac{3}{2}a^{6n-2}b^{3m+2} = 1,5a^{6n-2}b^{3m+2}\);

2) \(-7\frac{1}{3}a^{2n-1}b^{3n-1} \cdot 1\frac{1}{11}a^{n+6}b^{3n+1} = -\frac{22}{3} \cdot \frac{12}{11} \cdot a^{2n-1+n+6} \cdot b^{3n-1+3n+1} =\)

\(= -2 \cdot 4 \cdot a^{3n+5} \cdot b^{6n} = -8a^{3n+5}b^{6n}\).

Нужно выполнить умножение одночленов. При умножении одночленов:

1) перемножают числовые коэффициенты;

2) для одинаковых буквенных оснований складывают показатели степеней;

3) если в показателях есть выражения с \(m\) и \(n\), их складывают как обычные алгебраические выражения. Условие, что \(m\) и \(n\) натуральные, означает, что показатели степеней остаются целыми (и в задачах такого типа получаются корректные степени).

1) \(2\frac{5}{6}a^{n+2}b^{m+3} \cdot \frac{9}{17}a^{5n-4}b^{2m-1}\)

Шаг 1. Преобразуем смешанное число \(2\frac{5}{6}\) в неправильную дробь:

\(2\frac{5}{6} = \frac{2\cdot6+5}{6} = \frac{17}{6}\).

Шаг 2. Переписываем произведение, выделяя коэффициенты и степени отдельно:

\(2\frac{5}{6}a^{n+2}b^{m+3} \cdot \frac{9}{17}a^{5n-4}b^{2m-1} = \frac{17}{6}\cdot\frac{9}{17}\cdot a^{n+2}\cdot a^{5n-4}\cdot b^{m+3}\cdot b^{2m-1}\).

Шаг 3. Перемножаем дробные коэффициенты:

\(\frac{17}{6}\cdot\frac{9}{17} = \frac{17\cdot9}{6\cdot17}\).

Шаг 4. Сокращаем \(17\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{17\cdot9}{6\cdot17} = \frac{9}{6}\).

Шаг 5. Сокращаем дробь \(\frac{9}{6}\) на 3:

\(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).

Шаг 6. Складываем показатели степеней при основании \(a\):

\(a^{n+2}\cdot a^{5n-4} = a^{(n+2)+(5n-4)} = a^{n+2+5n-4}\).

Шаг 7. Упрощаем показатель степени при \(a\):

\(n+2+5n-4 = (n+5n) + (2-4) = 6n-2\).

Значит \(a^{n+2+5n-4} = a^{6n-2}\).

Шаг 8. Складываем показатели степеней при основании \(b\):

\(b^{m+3}\cdot b^{2m-1} = b^{(m+3)+(2m-1)} = b^{m+3+2m-1}\).

Шаг 9. Упрощаем показатель степени при \(b\):

\(m+3+2m-1 = (m+2m) + (3-1) = 3m+2\).

Значит \(b^{m+3+2m-1} = b^{3m+2}\).

Шаг 10. Собираем всё вместе:

\(\frac{17}{6}\cdot\frac{9}{17}\cdot a^{n+2+5n-4}\cdot b^{m+3+2m-1} = \frac{3}{2}a^{6n-2}b^{3m+2}\).

Шаг 11. При необходимости переводим \(\frac{3}{2}\) в десятичную дробь:

\(\frac{3}{2} = 1,5\).

Ответ: \(2\frac{5}{6}a^{n+2}b^{m+3} \cdot \frac{9}{17}a^{5n-4}b^{2m-1} = \frac{3}{2}a^{6n-2}b^{3m+2} = 1,5a^{6n-2}b^{3m+2}\).

2) \(-7\frac{1}{3}a^{2n-1}b^{3n-1} \cdot 1\frac{1}{11}a^{n+6}b^{3n+1}\)

Шаг 1. Преобразуем смешанное число \(-7\frac{1}{3}\) в неправильную дробь:

\(-7\frac{1}{3} = -\frac{7\cdot3+1}{3} = -\frac{22}{3}\).

Шаг 2. Преобразуем смешанное число \(1\frac{1}{11}\) в неправильную дробь:

\(1\frac{1}{11} = \frac{1\cdot11+1}{11} = \frac{12}{11}\).

Шаг 3. Переписываем произведение, выделяя коэффициенты и степени:

\(-7\frac{1}{3}a^{2n-1}b^{3n-1} \cdot 1\frac{1}{11}a^{n+6}b^{3n+1} = -\frac{22}{3}\cdot\frac{12}{11}\cdot a^{2n-1}\cdot a^{n+6}\cdot b^{3n-1}\cdot b^{3n+1}\).

Шаг 4. Перемножаем дробные коэффициенты:

\(-\frac{22}{3}\cdot\frac{12}{11} = -\frac{22\cdot12}{3\cdot11}\).

Шаг 5. Сокращаем \(22\) и \(11\): \(\frac{22}{11} = 2\):

\(-\frac{22\cdot12}{3\cdot11} = -\frac{2\cdot12}{3}\).

Шаг 6. Упрощаем \(\frac{12}{3}\): \(\frac{12}{3} = 4\):

\(-\frac{2\cdot12}{3} = -(2\cdot4) = -8\).

Шаг 7. Складываем показатели степеней при основании \(a\):

\(a^{2n-1}\cdot a^{n+6} = a^{(2n-1)+(n+6)} = a^{2n-1+n+6}\).

Шаг 8. Упрощаем показатель степени при \(a\):

\(2n-1+n+6 = (2n+n) + (-1+6) = 3n+5\).

Значит \(a^{2n-1+n+6} = a^{3n+5}\).

Шаг 9. Складываем показатели степеней при основании \(b\):

\(b^{3n-1}\cdot b^{3n+1} = b^{(3n-1)+(3n+1)} = b^{3n-1+3n+1}\).

Шаг 10. Упрощаем показатель степени при \(b\):

\(3n-1+3n+1 = (3n+3n) + (-1+1) = 6n\).

Значит \(b^{3n-1+3n+1} = b^{6n}\).

Шаг 11. Собираем всё вместе:

\(-\frac{22}{3}\cdot\frac{12}{11}\cdot a^{2n-1+n+6}\cdot b^{3n-1+3n+1} = -8a^{3n+5}b^{6n}\).

Ответ: \(-7\frac{1}{3}a^{2n-1}b^{3n-1} \cdot 1\frac{1}{11}a^{n+6}b^{3n+1} = -8a^{3n+5}b^{6n}\).