ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 8.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Замените звездочки такими одночленами, чтобы выполнялось равенство:

1) \((*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5\)

2) \((*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8\)

3) \((*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11}\)

4) \((*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9\)

1) \((*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5\) ⇒

\((3ac)^2 \cdot (bc)^3 = 9a^2c^2 \cdot b^3c^3 = 9a^2b^3c^5\).

2) \((*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8\) ⇒

\((ab^2)^3 \cdot (2ac^2)^4 = a^3b^6 \cdot 16a^4c^8 = 16a^7b^6c^8\).

3) \((*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11}\) ⇒

\((-2n^3)^3 \cdot (3m^4n^4)^2 = -8n^9 \cdot 9m^8n^8 = -72m^8n^{11}\).

4) \((*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9\) ⇒

\((x^2y^3z^2)^2 \cdot (2x^5y^3z)^5 = x^4y^6z^4 \cdot 32x^{25}y^{15}z^5 = 32x^{29}y^{21}z^9\).

Нужно заменить каждую звездочку \((*)\) таким одночленом, чтобы равенство выполнялось. Удобно подобрать одночлены так, чтобы после возведения в степень и умножения получились нужные показатели степеней и нужный коэффициент.

1) \((*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5\)

Шаг 1. Смотрим на коэффициент \(9\). Его можно получить как \(3^2\), значит удобно, чтобы одночлен в квадрате давал коэффициент 9, то есть содержал множитель 3: \((3\ldots)^2 = 9\ldots\).

Шаг 2. Смотрим на степень \(a^2\). Её удобно получить из квадрата \(a^1\): \((a)^2 = a^2\). Значит в первый одночлен (который в квадрате) удобно включить \(a\).

Шаг 3. Смотрим на \(b^3\). Это естественно получается из куба \(b\): \((b)^3 = b^3\). Значит второй одночлен (который в кубе) удобно взять с \(b\).

Шаг 4. Смотрим на \(c^5\). Его можно разложить как \(c^2 \cdot c^3\). Это удобно получить из \((c)^2\) и \((c)^3\). Значит можно включить \(c\) в оба одночлена: в первый как \(c\), во второй как \(c\).

Шаг 5. Тогда получаем кандидаты: первый одночлен \(3ac\), второй одночлен \(bc\).

Шаг 6. Проверяем вычислением:

\((3ac)^2 = 3^2\cdot a^2 \cdot c^2 = 9a^2c^2\).

\((bc)^3 = b^3c^3\).

Шаг 7. Перемножаем результаты:

\((3ac)^2 \cdot (bc)^3 = 9a^2c^2 \cdot b^3c^3 = 9a^2b^3c^{2+3} = 9a^2b^3c^5\).

Значит замена верная: \((3ac)^2 \cdot (bc)^3 = 9a^2b^3c^5\).

2) \((*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8\)

Шаг 1. Смотрим на коэффициент 16. Его удобно получить как \(2^4\). Значит удобно, чтобы одночлен в 4-й степени содержал множитель 2: \((2\ldots)^4 = 16\ldots\).

Шаг 2. Смотрим на \(b^6\). Это естественно получить из куба \(b^2\): \((b^2)^3 = b^6\). Значит одночлен в кубе удобно взять \(ab^2\) (в нём ещё можно получить часть степени \(a\)).

Шаг 3. Смотрим на \(c^8\). Это удобно получить из 4-й степени \(c^2\): \((c^2)^4 = c^8\). Значит одночлен в 4-й степени удобно взять с \(c^2\).

Шаг 4. Теперь распределим степени \(a^7\). Если первый одночлен (в кубе) содержит \(a^1\), то даёт \(a^3\). Если второй одночлен (в 4-й степени) содержит \(a^1\), то даёт \(a^4\). Тогда суммарно будет \(a^{3+4} = a^7\), что идеально.

Шаг 5. Тогда выбираем:

первый одночлен \(ab^2\), второй одночлен \(2ac^2\).

Шаг 6. Проверяем:

\((ab^2)^3 = a^3 \cdot b^{2\cdot3} = a^3b^6\).

\((2ac^2)^4 = 2^4 \cdot a^4 \cdot (c^2)^4 = 16a^4c^8\).

Шаг 7. Умножаем:

\((ab^2)^3 \cdot (2ac^2)^4 = a^3b^6 \cdot 16a^4c^8 = 16a^{3+4}b^6c^8 = 16a^7b^6c^8\).

Значит замена верная: \((ab^2)^3 \cdot (2ac^2)^4 = 16a^7b^6c^8\).

3) \((*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11}\)

Шаг 1. Смотрим на знак минус. Чтобы получить минус, удобно сделать так, чтобы куб давал отрицательное число, потому что нечётная степень сохраняет знак. Значит одночлен в кубе должен быть отрицательным.

Шаг 2. Разложим коэффициент 72 как произведение коэффициентов из куба и квадрата: \(72 = 8 \cdot 9\). Это удобно, потому что \(8 = 2^3\), \(9 = 3^2\).

Шаг 3. Тогда в куб удобно взять коэффициент \(-2\): \((-2)^3 = -8\).

А в квадрат удобно взять коэффициент \(3\): \(3^2 = 9\).

Шаг 4. Теперь распределим степени \(m^8\). Их удобно получить из квадрата \(m^4\): \((m^4)^2 = m^8\). Значит одночлен в квадрате должен содержать \(m^4\).

Шаг 5. Распределим степени \(n^{11}\) как \(n^9 \cdot n^2\) или как \(n^9 \cdot n^2\), но у нас степени: куб даёт кратно 3, квадрат даёт кратно 2. Удобно получить \(n^9\) из куба \(n^3\): \((n^3)^3 = n^9\), и \(n^2\) из квадрата \(n\): \((n)^2 = n^2\). Тогда в квадратном одночлене будет \(n^1\), а в кубическом будет \(n^3\).

Шаг 6. Тогда выбираем:

первый одночлен \(-2n^3\), второй одночлен \(3m^4n\).

Шаг 7. Проверяем:

\((-2n^3)^3 = (-2)^3 \cdot (n^3)^3 = -8n^9\).

\((3m^4n)^2 = 3^2 \cdot (m^4)^2 \cdot n^2 = 9m^8n^2\).

Шаг 8. Умножаем:

\((-2n^3)^3 \cdot (3m^4n)^2 = -8n^9 \cdot 9m^8n^2 = -72m^8n^{9+2} = -72m^8n^{11}\).

Значит замена верная: \((-2n^3)^3 \cdot (3m^4n)^2 = -72m^8n^{11}\).

4) \((*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9\)

Шаг 1. Смотрим на коэффициент 32. Это \(2^5\). Значит удобно, чтобы одночлен в 5-й степени содержал коэффициент 2: \((2\ldots)^5 = 32\ldots\).

Шаг 2. Теперь распределим показатели степеней по переменным так, чтобы после возведения получились нужные степени:

Для квадрата показатели должны быть чётными в результате: то есть исходные показатели делятся на 2.

Для 5-й степени показатели в результате кратны 5: исходные показатели делятся на 5.

Шаг 3. Разложим требуемые показатели:

\(x^{29}\) можно получить как \(x^4 \cdot x^{25}\), потому что \(4\) кратно 2 (для квадрата), а \(25\) кратно 5 (для 5-й степени).

\(y^{21}\) можно получить как \(y^6 \cdot y^{15}\), потому что \(6\) кратно 2, а \(15\) кратно 5.

\(z^9\) можно получить как \(z^4 \cdot z^5\), потому что \(4\) кратно 2, а \(5\) кратно 5.

Шаг 4. Тогда одночлен в квадрате должен давать \(x^4y^6z^4\). Значит он может быть \(x^2y^3z^2\), потому что:

\((x^2y^3z^2)^2 = x^{2\cdot2}y^{3\cdot2}z^{2\cdot2} = x^4y^6z^4\).

Шаг 5. Одночлен в 5-й степени должен давать \(32x^{25}y^{15}z^5\). Значит он может быть \(2x^5y^3z\), потому что:

\((2x^5y^3z)^5 = 2^5 \cdot x^{5\cdot5}\cdot y^{3\cdot5}\cdot z^{1\cdot5} = 32x^{25}y^{15}z^5\).

Шаг 6. Проверяем произведение:

\((x^2y^3z^2)^2 \cdot (2x^5y^3z)^5 = x^4y^6z^4 \cdot 32x^{25}y^{15}z^5\).

Шаг 7. Умножаем одночлены, складывая показатели:

\(x^{4+25} = x^{29}\), \(y^{6+15} = y^{21}\), \(z^{4+5} = z^9\), коэффициент \(32\) остаётся.

Шаг 8. Получаем:

\((x^2y^3z^2)^2 \cdot (2x^5y^3z)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9\).

Значит замена верная: \((x^2y^3z^2)^2 \cdot (2x^5y^3z)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9\).