ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 8.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Замените звездочки такими одночленами, чтобы выполнялось равенство:

1) \((*)^2 \cdot (*)^3 = 72m^7n^{11}\)

2) \((*)^3 \cdot (*)^4 = -81x^{10}y^{17}z^{13}\)

3) \((*)^2 \cdot (*)^5 = -288a^9b^{11}c^{12}\)

1) \((*)^2 \cdot (*)^3 = 72m^7n^{11}\) ⇒

\((3m^2n)^2 \cdot (2mn^3)^3 = 9m^4n^2 \cdot 8m^3n^9 = 72m^7n^{11}\).

2) \((*)^3 \cdot (*)^4 = -81x^{10}y^{17}z^{13}\) ⇒

\((-x^2y^3z^3)^3 \cdot (3xy^2z)^4 = -x^6y^9z^9 \cdot 81x^4y^8z^4 = -81x^{10}y^{17}z^{13}\).

3) \((*)^2 \cdot (*)^5 = -288a^9b^{11}c^{12}\) ⇒

\((3a^2b^3c)^2 \cdot (-2abc^2)^5 = 9a^4b^6c^2 \cdot (-32a^5b^5c^{10}) = -288a^9b^{11}c^{12}\).

Нужно заменить \((*)\) такими одночленами, чтобы после возведения в указанные степени и умножения получился заданный одночлен. Подбираем множители так, чтобы:

1) коэффициенты после возведения в степени дали нужный числовой коэффициент;

2) показатели степеней каждой буквы после возведения и сложения дали нужные степени.

1) \((*)^2 \cdot (*)^3 = 72m^7n^{11}\)

Шаг 1. Разложим коэффициент \(72\) на произведение квадратного и кубического коэффициента. Удобно взять \(72 = 9 \cdot 8\), потому что \(9 = 3^2\), \(8 = 2^3\).

Шаг 2. Значит одночлен в квадрате удобно взять с коэффициентом 3, чтобы \((3\ldots)^2\) дал 9, а одночлен в кубе — с коэффициентом 2, чтобы \((2\ldots)^3\) дал 8.

Шаг 3. Разложим степени переменных так, чтобы часть шла из квадрата, а часть из куба.

Для \(m^7\) удобно получить \(m^4\cdot m^3\), где \(m^4\) получается из квадрата \(m^2\), а \(m^3\) получается из куба \(m\):

\((m^2)^2 = m^4\), \((m)^3 = m^3\), и вместе \(m^4\cdot m^3 = m^7\).

Для \(n^{11}\) удобно получить \(n^2\cdot n^9\), где \(n^2\) получается из квадрата \(n\), а \(n^9\) получается из куба \(n^3\):

\((n)^2 = n^2\), \((n^3)^3 = n^9\), и вместе \(n^2\cdot n^9 = n^{11}\).

Шаг 4. Тогда выбираем одночлены:

первый (в квадрате): \(3m^2n\), второй (в кубе): \(2mn^3\).

Шаг 5. Проверяем вычислением.

\((3m^2n)^2 = 3^2 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 = 9m^4n^2\).

\((2mn^3)^3 = 2^3 \cdot m^3 \cdot (n^3)^3 = 8m^3n^9\).

Шаг 6. Перемножаем результаты:

\((3m^2n)^2 \cdot (2mn^3)^3 = 9m^4n^2 \cdot 8m^3n^9 = 72m^{4+3}n^{2+9} = 72m^7n^{11}\).

Ответ: \((3m^2n)^2 \cdot (2mn^3)^3 = 72m^7n^{11}\).

2) \((*)^3 \cdot (*)^4 = -81x^{10}y^{17}z^{13}\)

Шаг 1. Разбираем знак. Итог отрицательный, значит произведение двух результатов должно быть отрицательным.

Так как 3-я степень сохраняет знак, а 4-я степень делает знак положительным, удобно сделать так, чтобы одночлен в кубе был отрицательным, а одночлен в 4-й степени — положительным.

Шаг 2. Разбираем коэффициент 81. Удобно получить его из 4-й степени: \(81 = 3^4\).

Значит одночлен в 4-й степени удобно взять с коэффициентом 3, чтобы \((3\ldots)^4\) дал 81.

А одночлен в кубе тогда берём с коэффициентом \(-1\), чтобы знак был минус.

Шаг 3. Распределяем степени по переменным.

Для \(x^{10}\) удобно получить \(x^6 \cdot x^4\), где \(x^6\) идёт из куба \(x^2\): \((x^2)^3 = x^6\), а \(x^4\) идёт из 4-й степени \(x\): \((x)^4 = x^4\).

Для \(y^{17}\) удобно получить \(y^9 \cdot y^8\), где \(y^9\) идёт из куба \(y^3\): \((y^3)^3 = y^9\), а \(y^8\) идёт из 4-й степени \(y^2\): \((y^2)^4 = y^8\).

Для \(z^{13}\) удобно получить \(z^9 \cdot z^4\), где \(z^9\) идёт из куба \(z^3\): \((z^3)^3 = z^9\), а \(z^4\) идёт из 4-й степени \(z\): \((z)^4 = z^4\).

Шаг 4. Тогда выбираем одночлены:

первый (в кубе, отрицательный): \(-x^2y^3z^3\),

второй (в 4-й степени, с коэффициентом 3): \(3xy^2z\).

Шаг 5. Проверяем вычислением.

\((-x^2y^3z^3)^3 = (-1)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 \cdot (z^3)^3 = -x^6y^9z^9\).

\((3xy^2z)^4 = 3^4 \cdot x^4 \cdot (y^2)^4 \cdot z^4 = 81x^4y^8z^4\).

Шаг 6. Перемножаем:

\((-x^2y^3z^3)^3 \cdot (3xy^2z)^4 = -x^6y^9z^9 \cdot 81x^4y^8z^4 = -81x^{6+4}y^{9+8}z^{9+4} =\)

\(= -81x^{10}y^{17}z^{13}\).

Ответ: \((-x^2y^3z^3)^3 \cdot (3xy^2z)^4 = -81x^{10}y^{17}z^{13}\).

3) \((*)^2 \cdot (*)^5 = -288a^9b^{11}c^{12}\)

Шаг 1. Разбираем знак. Итог отрицательный. Так как квадрат даёт положительный результат, знак минус должен прийти из 5-й степени. Значит одночлен в 5-й степени должен быть отрицательным.

Шаг 2. Разбираем коэффициент 288. Удобно представить его как произведение \(9\cdot32\), потому что \(9 = 3^2\), \(32 = 2^5\), а знак минус можно получить как \((-2)^5 = -32\).

Шаг 3. Тогда одночлен в квадрате удобно взять с коэффициентом 3, чтобы получить 9, а одночлен в 5-й степени — с коэффициентом \(-2\), чтобы получить \(-32\). Произведение даст \(-288\).

Шаг 4. Распределяем степени переменных.

Для \(a^9\) удобно получить \(a^4 \cdot a^5\), где \(a^4\) получается из квадрата \(a^2\): \((a^2)^2 = a^4\), а \(a^5\) получается из 5-й степени \(a\): \((a)^5 = a^5\).

Для \(b^{11}\) удобно получить \(b^6 \cdot b^5\), где \(b^6\) получается из квадрата \(b^3\): \((b^3)^2 = b^6\), а \(b^5\) получается из 5-й степени \(b\): \((b)^5 = b^5\).

Для \(c^{12}\) удобно получить \(c^2 \cdot c^{10}\), где \(c^2\) получается из квадрата \(c\): \((c)^2 = c^2\), а \(c^{10}\) получается из 5-й степени \(c^2\): \((c^2)^5 = c^{10}\).

Шаг 5. Тогда выбираем одночлены:

первый (в квадрате): \(3a^2b^3c\),

второй (в 5-й степени, отрицательный): \(-2abc^2\).

Шаг 6. Проверяем вычислением.

\((3a^2b^3c)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot c^2 = 9a^4b^6c^2\).

\((-2abc^2)^5 = (-2)^5 \cdot a^5 \cdot b^5 \cdot (c^2)^5 = -32a^5b^5c^{10}\).

Шаг 7. Перемножаем результаты:

\((3a^2b^3c)^2 \cdot (-2abc^2)^5 = 9a^4b^6c^2 \cdot (-32a^5b^5c^{10})\)

\(= -288a^{4+5}b^{6+5}c^{2+10} = -288a^9b^{11}c^{12}\).

Ответ: \((3a^2b^3c)^2 \cdot (-2abc^2)^5 = -288a^9b^{11}c^{12}\).