ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 8.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Значения переменных a, b и c таковы, что \(2a^2b = 7\) и \(a^3c^2 = 2\). Найдите значение выражения:

1) \(6a^5bc^2 \);

2) \(a^7b^2c^2 \);

3) \(2\frac{1}{7}a^8bc^4 \).

Если \(2a^2b = 7\) и \(a^3c^2 = 2\), то:

1) \(6a^5bc^2 = 3 \cdot 2a^2b \cdot a^3c^2 = 3 \cdot 7 \cdot 2 = 42\);

2) \(a^7b^2c^2 = \frac{1}{4} \cdot 4a^4b^2 \cdot a^3c^2 = \frac{1}{4} \cdot (2a^2b)^2 \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 7^2 \cdot 2 =\)

\(= \frac{1}{2} \cdot 49 = 24,5\);

3) \(2\frac{1}{7}a^8bc^4 = \frac{15}{7}a^2b \cdot a^3c^2 \cdot a^3c^2 = \frac{15}{7} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2a^2b \cdot 2(a^3c^2) =\)

\(= \frac{15}{14} \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30\).

Дано: \(2a^2b = 7\), \(a^3c^2 = 2\).

Нужно найти значение выражения. В каждом пункте будем преобразовывать выражение так, чтобы в нём появились множители \(2a^2b\) и \(a^3c^2\), потому что их значения известны.

1) Найдём \(6a^5bc^2\).

Шаг 1. Разложим числовой множитель \(6\) как \(3 \cdot 2\), чтобы получить множитель \(2a^2b\):

\(6a^5bc^2 = 3 \cdot 2 \cdot a^5bc^2\).

Шаг 2. Разобьём степень \(a^5\) на \(a^2 \cdot a^3\), чтобы получился множитель \(a^3c^2\):

\(3 \cdot 2 \cdot a^5bc^2 = 3 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot b \cdot c^2\).

Шаг 3. Сгруппируем множители в известные выражения:

\(3 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b \cdot a^3 \cdot c^2 = 3 \cdot (2a^2b) \cdot (a^3c^2)\).

Шаг 4. Подставим данные значения:

\(3 \cdot (2a^2b) \cdot (a^3c^2) = 3 \cdot 7 \cdot 2\).

Шаг 5. Выполним умножение:

\(3 \cdot 7 \cdot 2 = 21 \cdot 2 = 42\).

Итак, \(6a^5bc^2 = 42\).

2) Найдём \(a^7b^2c^2\).

Шаг 1. Представим \(a^7b^2c^2\) как произведение \(a^4b^2\) и \(a^3c^2\), потому что \(a^3c^2\) нам известно:

\(a^7b^2c^2 = (a^4b^2)\cdot(a^3c^2)\).

Шаг 2. Заметим, что \(a^4b^2 = (a^2b)^2\), так как \((a^2b)^2 = a^4b^2\):

\((a^4b^2)\cdot(a^3c^2) = (a^2b)^2 \cdot (a^3c^2)\).

Шаг 3. Но дано значение не \(a^2b\), а \(2a^2b\). Выразим \((a^2b)^2\) через \((2a^2b)^2\):

\((2a^2b)^2 = 4(a^2b)^2\), значит \((a^2b)^2 = \frac{1}{4}(2a^2b)^2\).

Шаг 4. Подставим это в выражение:

\((a^2b)^2 \cdot (a^3c^2) = \frac{1}{4}(2a^2b)^2 \cdot (a^3c^2)\).

Шаг 5. Теперь можно подставить известные значения \(2a^2b = 7\) и \(a^3c^2 = 2\):

\(\frac{1}{4}(2a^2b)^2 \cdot (a^3c^2) = \frac{1}{4}\cdot 7^2 \cdot 2\).

Шаг 6. Вычислим \(7^2\):

\(7^2 = 49\).

Шаг 7. Подставим и упростим:

\(\frac{1}{4}\cdot 49 \cdot 2 = \frac{1}{4}\cdot 98\).

Шаг 8. Разделим \(98\) на \(4\). Удобно сократить \(2\) с \(4\):

\(\frac{1}{4}\cdot 98 = \frac{98}{4} = \frac{49}{2}\).

Шаг 9. Переведём \(\frac{49}{2}\) в десятичную дробь:

\(\frac{49}{2} = 24{,}5\).

Итак, \(a^7b^2c^2 = 24{,}5\).

3) Найдём \(2\frac{1}{7}a^8bc^4\).

Шаг 1. Преобразуем смешанное число \(2\frac{1}{7}\) в неправильную дробь:

\(2\frac{1}{7} = \frac{2\cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}\).

Значит, исходное выражение равно:

\(2\frac{1}{7}a^8bc^4 = \frac{15}{7}a^8bc^4\).

Шаг 2. Представим \(c^4\) как \(c^2 \cdot c^2\), а \(a^8\) как \(a^2 \cdot a^3 \cdot a^3\), чтобы собрать два раза множитель \(a^3c^2\) и один раз \(a^2b\):

\(a^8bc^4 = a^2 \cdot a^3 \cdot a^3 \cdot b \cdot c^2 \cdot c^2\).

Шаг 3. Сгруппируем так, чтобы появились известные множители:

\(a^2 \cdot b\) и \((a^3c^2)\) и \((a^3c^2)\):

\(a^2 \cdot a^3 \cdot a^3 \cdot b \cdot c^2 \cdot c^2 = (a^2b)\cdot(a^3c^2)\cdot(a^3c^2)\).

Тогда:

\(\frac{15}{7}a^8bc^4 = \frac{15}{7}\cdot(a^2b)\cdot(a^3c^2)\cdot(a^3c^2)\).

Шаг 4. Выразим \(a^2b\) через \(2a^2b\):

\(a^2b = \frac{1}{2}(2a^2b)\).

Шаг 5. Подставим это:

\(\frac{15}{7}\cdot(a^2b)\cdot(a^3c^2)\cdot(a^3c^2) = \frac{15}{7}\cdot \frac{1}{2}(2a^2b)\cdot(a^3c^2)\cdot(a^3c^2)\).

Шаг 6. Теперь подставим значения \(2a^2b = 7\) и \(a^3c^2 = 2\):

\(\frac{15}{7}\cdot \frac{1}{2}\cdot 7 \cdot 2 \cdot 2\).

Шаг 7. Упростим. Сократим \(7\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{15}{7}\cdot \frac{1}{2}\cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 = 15 \cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\).

Шаг 8. Сократим \(\frac{1}{2}\cdot 2 = 1\):

\(15 \cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2 = 15 \cdot 1 \cdot 2 = 30\).

Итак, \(2\frac{1}{7}a^8bc^4 = 30\).