ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 8.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Значения переменных m, n и p таковы, что \(m^3n^2 = 3\) и \(\frac{1}{3}n^3p^2 = 5\). Найдите значение выражения:

1) \(m^3n^5p^2 \);

2) \(2m^3n^8p^4 \);

3) \(-0,4m^{12}n^{11}p^2 \).

Если \(m^3n^2 = 3\) и \(\frac{1}{3}n^3p^2 = 5\), то:

1) \(m^3n^5p^2 = m^3n^2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot n^3p^2 = (m^3n^2) \cdot 3 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right) =\)

\(= 3 \cdot 3 \cdot 5 = 45\);

2) \(2m^3n^8p^4 = 2m^3n^2 \cdot n^6p^4 = 2 \cdot (m^3n^2) \cdot \left(\frac{1}{9} \cdot 9n^6p^4\right) =\)

\(= 2 \cdot (m^3n^2) \cdot 9 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)^2 = 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 5^2 = 6 \cdot 9 \cdot 25 =\)

\(= 54 \cdot 25 = 1350\);

3) \(-0,4m^{12}n^{11}p^2 = -0,4 \cdot m^{12}n^8 \cdot n^3p^2 =\)

\(= -0,4 \cdot (m^3n^2)^4 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot 3n^3p^2\right) =\)

\(= -0,4 \cdot (m^3n^2)^4 \cdot 3 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right) = -0,4 \cdot 3^4 \cdot 3 \cdot 5 =\)

\(= (-0,4 \cdot 5) \cdot 3^5 = -2 \cdot 243 = -486\).

Дано: \(m^3n^2 = 3\), \(\frac{1}{3}n^3p^2 = 5\).

Нужно найти значение выражения. Во всех преобразованиях будем стараться получить множители \(m^3n^2\) и \(\frac{1}{3}n^3p^2\), потому что их значения известны.

1) Найдём \(m^3n^5p^2\).

Шаг 1. Разделим степень \(n^5\) на \(n^2 \cdot n^3\), чтобы появился множитель \(m^3n^2\):

\(m^3n^5p^2 = m^3 \cdot n^2 \cdot n^3 \cdot p^2\).

Шаг 2. Перегруппируем множители так, чтобы получить \(m^3n^2\) и \(n^3p^2\):

\(m^3 \cdot n^2 \cdot n^3 \cdot p^2 = (m^3n^2)\cdot(n^3p^2)\).

Шаг 3. Но дано значение не \(n^3p^2\), а \(\frac{1}{3}n^3p^2\). Выразим \(n^3p^2\) через него:

\(\frac{1}{3}n^3p^2 = 5 \Rightarrow n^3p^2 = 15\).

Шаг 4. Подставим найденное \(n^3p^2 = 15\) и данное \(m^3n^2 = 3\):

\((m^3n^2)\cdot(n^3p^2) = 3 \cdot 15\).

Шаг 5. Выполним умножение:

\(3 \cdot 15 = 45\).

Итак, \(m^3n^5p^2 = 45\).

2) Найдём \(2m^3n^8p^4\).

Шаг 1. Вынесем коэффициент \(2\) и разобьём \(n^8\) как \(n^2 \cdot n^6\), чтобы появился множитель \(m^3n^2\):

\(2m^3n^8p^4 = 2 \cdot m^3 \cdot n^2 \cdot n^6 \cdot p^4\).

Шаг 2. Сгруппируем \(m^3n^2\):

\(2 \cdot m^3 \cdot n^2 \cdot n^6 \cdot p^4 = 2 \cdot (m^3n^2)\cdot(n^6p^4)\).

Шаг 3. Заметим, что \(n^6p^4 = (n^3p^2)^2\), потому что \((n^3p^2)^2 = n^6p^4\):

\(2 \cdot (m^3n^2)\cdot(n^6p^4) = 2 \cdot (m^3n^2)\cdot(n^3p^2)^2\).

Шаг 4. Выразим \(n^3p^2\) через \(\frac{1}{3}n^3p^2\):

\(n^3p^2 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)\).

Шаг 5. Возведём обе части в квадрат, чтобы заменить \((n^3p^2)^2\):

\((n^3p^2)^2 = \left(3 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)^2 = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)^2\).

Шаг 6. Подставим это в выражение:

\(2 \cdot (m^3n^2)\cdot(n^3p^2)^2 = 2 \cdot (m^3n^2)\cdot 9 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)^2\).

Шаг 7. Теперь подставим известные значения \(m^3n^2 = 3\) и \(\frac{1}{3}n^3p^2 = 5\):

\(2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 5^2\).

Шаг 8. Вычислим \(5^2\):

\(5^2 = 25\).

Шаг 9. Умножим последовательно:

\(2 \cdot 3 = 6\),

\(6 \cdot 9 = 54\),

\(54 \cdot 25 = 1350\).

Итак, \(2m^3n^8p^4 = 1350\).

3) Найдём \(-0,4m^{12}n^{11}p^2\).

Шаг 1. Вынесем коэффициент \(-0,4\) отдельно:

\(-0,4m^{12}n^{11}p^2 = -0,4 \cdot m^{12}n^{11}p^2\).

Шаг 2. Представим \(m^{12}n^{11}\) так, чтобы получить степень \((m^3n^2)^4\).

Проверим: \((m^3n^2)^4 = m^{3\cdot 4}n^{2\cdot 4} = m^{12}n^8\).

Значит \(m^{12}n^{11} = m^{12}n^8 \cdot n^3 = (m^3n^2)^4 \cdot n^3\).

Тогда:

\(-0,4 \cdot m^{12}n^{11}p^2 = -0,4 \cdot (m^3n^2)^4 \cdot n^3p^2\).

Шаг 3. Выразим \(n^3p^2\) через \(\frac{1}{3}n^3p^2\):

\(n^3p^2 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)\).

Шаг 4. Подставим это:

\(-0,4 \cdot (m^3n^2)^4 \cdot n^3p^2 = -0,4 \cdot (m^3n^2)^4 \cdot 3 \cdot \left(\frac{1}{3}n^3p^2\right)\).

Шаг 5. Теперь подставим значения \(m^3n^2 = 3\) и \(\frac{1}{3}n^3p^2 = 5\):

\(-0,4 \cdot 3^4 \cdot 3 \cdot 5\).

Шаг 6. Объединим степени тройки: \(3^4 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3^1 = 3^5\):

\(-0,4 \cdot 3^4 \cdot 3 \cdot 5 = -0,4 \cdot 5 \cdot 3^5\).

Шаг 7. Умножим \(-0,4\) на \(5\):

\(-0,4 \cdot 5 = -2\).

Шаг 8. Вычислим \(3^5\):

\(3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 27 = 243\).

Шаг 9. Перемножим \(-2\) и \(243\):

\(-2 \cdot 243 = -486\).

Итак, \(-0,4m^{12}n^{11}p^2 = -486\).