ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 8.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Замените звездочки такими цифрами, чтобы:

1) число *5* делилось нацело на 3 и на 10;

2) число 13 *2* делилось нацело на 9 и на 5;

3) число 58* делилось нацело на 2 и на 3.

1) Так как число \(*5*\) кратно 10, то оно оканчивается на 0. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Тогда, первая цифра данного числа будет равна 1, 4 или 7. Получим числа: 150, 450, 750.

2) Так как число \(13*2*\) кратно 5, то оно оканчивается на 0 или 5. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Если число оканчивается на 0, то третья цифра равна 3. Если число оканчивается на 5, то третья цифра равна 7. Получим числа: 13 320 или 13 725.

3) Так как число \(58*\) делится нацело на 2, то последняя цифра четная. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Значит, \(5 + 8 = 13\). Звездочка может быть равна 2 или 8. Получим числа: 582 или 588.

Нужно заменить звездочки цифрами так, чтобы получившиеся числа делились на указанные числа. Будем использовать признаки делимости:

Число делится на \(10\) тогда и только тогда, когда оканчивается на \(0\).

Число делится на \(5\) тогда и только тогда, когда оканчивается на \(0\) или \(5\).

Число делится на \(2\) тогда и только тогда, когда оканчивается на чётную цифру \(0,2,4,6,8\).

Число делится на \(3\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на \(3\).

Число делится на \(9\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на \(9\).

1) Замените звездочки в числе \(*5*\), чтобы оно делилось нацело на \(3\) и на \(10\).

Пусть число имеет вид \(*5*\). Это трёхзначное число, где:

первая звездочка — сотни (обозначим \(a\)),

средняя цифра фиксирована и равна \(5\),

последняя звездочка — единицы (обозначим \(b\)).

Тогда число имеет вид \(a5b\), где \(a\) — цифра от \(1\) до \(9\), а \(b\) — цифра от \(0\) до \(9\).

Шаг 1. Условие делимости на \(10\).

Чтобы число делилось на \(10\), последняя цифра должна быть \(0\). Значит, \(b = 0\).

Тогда число принимает вид \(a50\).

Шаг 2. Условие делимости на \(3\).

Сумма цифр числа \(a50\) равна \(a + 5 + 0 = a + 5\).

Нужно, чтобы \(a + 5\) делилось на \(3\).

Рассмотрим возможные значения \(a\) (цифры \(1\)–\(9\)) и проверим остатки при делении на \(3\):

Если \(a = 1\), то \(a + 5 = 6\), а \(6\) делится на \(3\).

Если \(a = 2\), то \(a + 5 = 7\), \(7\) на \(3\) не делится.

Если \(a = 3\), то \(a + 5 = 8\), \(8\) на \(3\) не делится.

Если \(a = 4\), то \(a + 5 = 9\), \(9\) делится на \(3\).

Если \(a = 5\), то \(a + 5 = 10\), \(10\) на \(3\) не делится.

Если \(a = 6\), то \(a + 5 = 11\), \(11\) на \(3\) не делится.

Если \(a = 7\), то \(a + 5 = 12\), \(12\) делится на \(3\).

Если \(a = 8\), то \(a + 5 = 13\), \(13\) на \(3\) не делится.

Если \(a = 9\), то \(a + 5 = 14\), \(14\) на \(3\) не делится.

Подходящие значения \(a\): \(1, 4, 7\).

Значит, подходящие числа:

\(150\), \(450\), \(750\).

2) Замените звездочки в числе \(13*2*\), чтобы оно делилось нацело на \(9\) и на \(5\).

Число имеет вид \(13*2*\). Обозначим:

третью цифру (сотни) через \(a\),

последнюю цифру (единицы) через \(b\).

Тогда число имеет вид \(13a2b\).

Шаг 1. Условие делимости на \(5\).

Чтобы число делилось на \(5\), последняя цифра должна быть \(0\) или \(5\).

Значит, \(b = 0\) или \(b = 5\).

Шаг 2. Условие делимости на \(9\).

Сумма цифр числа \(13a2b\) равна \(1 + 3 + a + 2 + b = 6 + a + b\).

Нужно, чтобы \(6 + a + b\) делилось на \(9\).

Рассмотрим два случая в зависимости от \(b\).

Случай 1: \(b = 0\).

Тогда сумма цифр равна \(6 + a + 0 = 6 + a\).

Нужно, чтобы \(6 + a\) делилось на \(9\).

Ближайшее число, кратное \(9\), которое больше или равно \(6\), это \(9\).

\(6 + a = 9 \Rightarrow a = 3\).

Значит, при \(b = 0\) подходит \(a = 3\), получаем число \(13320\).

Случай 2: \(b = 5\).

Тогда сумма цифр равна \(6 + a + 5 = 11 + a\).

Нужно, чтобы \(11 + a\) делилось на \(9\).

Ближайшее число, кратное \(9\), которое больше или равно \(11\), это \(18\).

\(11 + a = 18 \Rightarrow a = 7\).

Значит, при \(b = 5\) подходит \(a = 7\), получаем число \(13725\).

Итак, подходящие числа:

\(13320\) и \(13725\).

3) Замените звездочку в числе \(58*\), чтобы оно делилось нацело на \(2\) и на \(3\).

Число имеет вид \(58*\). Обозначим последнюю цифру через \(a\). Тогда число равно \(58a\).

Шаг 1. Условие делимости на \(2\).

Чтобы число делилось на \(2\), последняя цифра должна быть чётной.

Значит, \(a\) может быть одной из цифр \(0,2,4,6,8\).

Шаг 2. Условие делимости на \(3\).

Сумма цифр числа \(58a\) равна \(5 + 8 + a = 13 + a\).

Нужно, чтобы \(13 + a\) делилось на \(3\).

Сначала найдём остаток \(13\) при делении на \(3\):

\(13 = 12 + 1\), значит \(13\) даёт остаток \(1\) при делении на \(3\).

Чтобы \(13 + a\) делилось на \(3\), нужно, чтобы \(a\) давало остаток \(2\) при делении на \(3\), потому что \(1 + 2 = 3\), а \(3\) делится на \(3\).

Среди чётных цифр \(0,2,4,6,8\) найдём те, которые дают остаток \(2\) при делении на \(3\):

\(0\) даёт остаток \(0\) — не подходит.

\(2\) даёт остаток \(2\) — подходит.

\(4\) даёт остаток \(1\) — не подходит.

\(6\) даёт остаток \(0\) — не подходит.

\(8\) даёт остаток \(2\) — подходит.

Значит, \(a = 2\) или \(a = 8\).

Получаем числа:

\(582\) и \(588\).

Ответ:

1) \(150, 450, 750\);

2) \(13320, 13725\);

3) \(582, 588\).