ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 8.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(20a^8 \cdot (9a)^2 \);

2) \((-b^5)^4 \cdot 12b^6\);

3) \((3m^6n^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right) \);

4) \((0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2 \);

5) \(\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 \cdot (4a^6)^2\);

6) \(\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 \cdot \left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2 \).

1) \(20a^8 \cdot (9a)^2 = 20a^8 \cdot 81a^2 = 1620a^{10}\);

2) \((-b^5)^4 \cdot 12b^6 = b^{20} \cdot 12b^6 = 12b^{26}\);

3) \((3m^6n^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right) = 81m^{24}n^{12} \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right) = -m^{33}n^{13}\);

4) \((0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2 = 0,008x^{21}y^{24} \cdot 6x^2y^2 = 0,048x^{23}y^{26}\);

5) \(\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 \cdot (4a^6)^2 = -\frac{1}{8}a^3b^{12} \cdot 16a^{12} = -2a^{15}b^{12}\);

6) \(\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 \cdot \left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2 = -\frac{32}{243}x^{10}y^5 \cdot \frac{9}{16}x^2y^4 =\)

\(= -\frac{32 \cdot 9}{243 \cdot 16}x^{12}y^9 = -\frac{2 \cdot 1}{27 \cdot 1}x^{12}y^9 = -\frac{2}{27}x^{12}y^9\).

Нужно упростить выражения, выполняя возведение одночленов в степень и затем умножение одночленов. Используем правила:

1) \((k\cdot a^p\cdot b^q\cdot \ldots)^r = k^r\cdot a^{p\cdot r}\cdot b^{q\cdot r}\cdot \ldots\).

2) \(a^p\cdot a^q = a^{p+q}\).

3) При чётной степени знак минус исчезает, при нечётной сохраняется.

1) \(20a^8 \cdot (9a)^2\)

Шаг 1. Возводим \((9a)\) в квадрат:

\((9a)^2 = 9^2 \cdot a^2 = 81a^2\).

Шаг 2. Подставляем обратно:

\(20a^8 \cdot (9a)^2 = 20a^8 \cdot 81a^2\).

Шаг 3. Перемножаем коэффициенты: \(20\cdot81 = 1620\).

Шаг 4. Складываем показатели при \(a\): \(a^8\cdot a^2 = a^{8+2} = a^{10}\).

Ответ: \(20a^8 \cdot (9a)^2 = 1620a^{10}\).

2) \((-b^5)^4 \cdot 12b^6\)

Шаг 1. Возводим \((-b^5)\) в 4-ю степень:

\((-b^5)^4 = (-1\cdot b^5)^4 = (-1)^4\cdot (b^5)^4\).

Шаг 2. Так как степень 4 чётная, \((-1)^4 = 1\), значит знак становится плюс.

Шаг 3. Возводим степень в степень:

\((b^5)^4 = b^{5\cdot4} = b^{20}\).

Шаг 4. Получаем:

\((-b^5)^4 = b^{20}\).

Шаг 5. Умножаем на \(12b^6\):

\(b^{20}\cdot 12b^6 = 12\cdot b^{20}\cdot b^6\).

Шаг 6. Складываем показатели при \(b\): \(b^{20}\cdot b^6 = b^{20+6} = b^{26}\).

Ответ: \((-b^5)^4 \cdot 12b^6 = 12b^{26}\).

3) \((3m^6n^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right)\)

Шаг 1. Возводим \((3m^6n^3)\) в 4-ю степень:

\((3m^6n^3)^4 = 3^4 \cdot (m^6)^4 \cdot (n^3)^4\).

Шаг 2. Вычисляем \(3^4\): \(3^4 = 81\).

Шаг 3. Возводим степени в степень:

\((m^6)^4 = m^{6\cdot4} = m^{24}\).

\((n^3)^4 = n^{3\cdot4} = n^{12}\).

Шаг 4. Получаем:

\((3m^6n^3)^4 = 81m^{24}n^{12}\).

Шаг 5. Подставляем в выражение:

\((3m^6n^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right) = 81m^{24}n^{12}\cdot\left(-\frac{1}{81}m^9n\right)\).

Шаг 6. Перемножаем коэффициенты:

\(81\cdot\left(-\frac{1}{81}\right) = -1\).

Шаг 7. Складываем показатели при \(m\): \(m^{24}\cdot m^9 = m^{24+9} = m^{33}\).

Шаг 8. Складываем показатели при \(n\): \(n^{12}\cdot n = n^{12}\cdot n^1 = n^{12+1} = n^{13}\).

Ответ: \((3m^6n^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right) = -m^{33}n^{13}\).

4) \((0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2\)

Шаг 1. Возводим \((0,2x^7y^8)\) в куб:

\((0,2x^7y^8)^3 = 0,2^3 \cdot (x^7)^3 \cdot (y^8)^3\).

Шаг 2. Вычисляем \(0,2^3\):

\(0,2^3 = 0,2\cdot0,2\cdot0,2\).

\(0,2\cdot0,2 = 0,04\).

\(0,04\cdot0,2 = 0,008\).

Значит \(0,2^3 = 0,008\).

Шаг 3. Возводим степени в степень:

\((x^7)^3 = x^{7\cdot3} = x^{21}\).

\((y^8)^3 = y^{8\cdot3} = y^{24}\).

Шаг 4. Получаем:

\((0,2x^7y^8)^3 = 0,008x^{21}y^{24}\).

Шаг 5. Умножаем на \(6x^2y^2\):

\(0,008x^{21}y^{24}\cdot 6x^2y^2\).

Шаг 6. Перемножаем коэффициенты: \(0,008\cdot6 = 0,048\).

Шаг 7. Складываем показатели при \(x\): \(x^{21}\cdot x^2 = x^{21+2} = x^{23}\).

Шаг 8. Складываем показатели при \(y\): \(y^{24}\cdot y^2 = y^{24+2} = y^{26}\).

Ответ: \((0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2 = 0,048x^{23}y^{26}\).

5) \(\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 \cdot (4a^6)^2\)

Шаг 1. Возводим \(\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)\) в куб:

\(\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \cdot a^3 \cdot (b^4)^3\).

Шаг 2. Вычисляем коэффициент:

\(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\).

Шаг 3. Возводим \((b^4)^3\):

\((b^4)^3 = b^{4\cdot3} = b^{12}\).

Шаг 4. Получаем:

\(\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^{12}\).

Шаг 5. Возводим \((4a^6)\) в квадрат:

\((4a^6)^2 = 4^2 \cdot (a^6)^2 = 16a^{12}\).

Шаг 6. Умножаем результаты:

\(-\frac{1}{8}a^3b^{12} \cdot 16a^{12}\).

Шаг 7. Перемножаем коэффициенты:

\(-\frac{1}{8}\cdot16 = -\frac{16}{8} = -2\).

Шаг 8. Складываем показатели при \(a\): \(a^3\cdot a^{12} = a^{3+12} = a^{15}\).

Шаг 9. Множитель \(b^{12}\) остаётся: \(b^{12}\).

Ответ: \(\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 \cdot (4a^6)^2 = -2a^{15}b^{12}\).

6) \(\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 \cdot \left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2\)

Шаг 1. Возводим \(\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)\) в 5-ю степень:

\(\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 = \left(-\frac{2}{3}\right)^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y)^5\).

Шаг 2. Вычисляем коэффициент:

\(\left(-\frac{2}{3}\right)^5 = -\frac{2^5}{3^5} = -\frac{32}{243}\).

Шаг 3. Возводим степени в степень:

\((x^2)^5 = x^{2\cdot5} = x^{10}\).

\((y)^5 = y^5\).

Шаг 4. Получаем:

\(\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 = -\frac{32}{243}x^{10}y^5\).

Шаг 5. Возводим \(\left(-\frac{3}{4}xy^2\right)\) в квадрат:

\(\left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2\).

Шаг 6. Вычисляем коэффициент (степень чётная, знак плюс):

\(\left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\).

Шаг 7. Возводим \((y^2)^2\):

\((y^2)^2 = y^{2\cdot2} = y^4\).

Шаг 8. Получаем:

\(\left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2 = \frac{9}{16}x^2y^4\).

Шаг 9. Умножаем полученные одночлены:

\(-\frac{32}{243}x^{10}y^5 \cdot \frac{9}{16}x^2y^4\).

Шаг 10. Перемножаем коэффициенты:

\(-\frac{32}{243}\cdot\frac{9}{16} = -\frac{32\cdot9}{243\cdot16}\).

Шаг 11. Сокращаем \(\frac{32}{16} = 2\):

\(-\frac{32\cdot9}{243\cdot16} = -\frac{2\cdot9}{243}\).

Шаг 12. Сокращаем \(\frac{9}{243} = \frac{1}{27}\), так как \(243 = 9\cdot27\):

\(-\frac{2\cdot9}{243} = -\frac{2\cdot1}{27} = -\frac{2}{27}\).

Шаг 13. Складываем показатели при \(x\): \(x^{10}\cdot x^2 = x^{10+2} = x^{12}\).

Шаг 14. Складываем показатели при \(y\): \(y^5\cdot y^4 = y^{5+4} = y^9\).

Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 \cdot \left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2 = -\frac{2}{27}x^{12}y^9\).