ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1054 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \( \begin{cases} (2x + 1)^2 — (2x — y)(2x + y) = (y + 8)(y — 10), \\ 4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104; \end{cases} \)

2) \( \begin{cases} (x — 2)(x^3 + 2x + 4) — x(x — 4)(x + 4) = 20 — 20y, \\ (3x — 2)(4y + 5) = 2y(6x — 1) — 58. \end{cases} \)

1)

\[
\begin{cases}
(2x + 1)^2 — (2x — y)(2x + y) = (y + 8)(y — 10) \\
4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
4x^2 + 4x + 1 — 4x^2 + y^2 = y^2 — 10y + 8y — 80 \\
4x^2 — 20x — 4x^2 + 18x + 6x — 27 = 6y — 104
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
4x + 2y = -80 — 1 \\
4x + 2y = -81
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-4x — 6y = -104 + 27 \\
-4x — 6y = -77
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
8y = -4 \\
y = -0.5
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
4x + 2y = -81 \\
4x = -81 — 2y
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
4x = -80 \\
y = -0.5
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = -20 \\
y = -0.5
\end{cases}
\]

Ответ: \((-20; -0.5)\).

2) \(\begin{cases} (x-2)(x^2+2x+4)-x(x-4)(x+4)=20-20y \\ (3x-2)(4y+5)=2y(6x-1)-58 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^3 — 8 — x(x^2 — 16) = 20 — 20y \\ 12xy + 15x — 8y — 10 = 12xy — 2y — 58 \end{cases}\)

\[
\begin{cases}
x^3 — 8 — x^3 + 16x + 20y = 20 \\
15x — 8y + 2y = -58 + 10
\end{cases}
\]

\(\begin{cases} 16x + 20y = 28 & | : 4 \\ 15x — 6y = -48 & | : 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x + 5y = 7 & | \cdot 2 \\ 5x — 2y = -16 & | \cdot 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 8x + 10y = 14 \\ 25x — 10y = -80 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 33x = -66 \\ 4x + 5y = 7 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = -2 \\ 5y = 7 — 4x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = -2 \\ 5y = 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}\)

Ответ: \((-2; 3)\).

1)

Решим систему:

$$\begin{cases} (2x + 1)^2 — (2x — y)(2x + y) = (y + 8)(y — 10) \\ 4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104 \end{cases}$$

Первое уравнение:

Раскроем каждую часть по формулам сокращённого умножения.

Левая часть:

Первая скобка:

$$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$

Вторая скобка — разность квадратов:

$$(2x — y)(2x + y) = (2x)^2 — y^2 = 4x^2 — y^2$$

Тогда всё уравнение:

$$(4x^2+4x+1)-(4x^2-y^2)=(y+8)(y-10)\Rightarrow 4x^2+4x+1-4x^2+y^2=$$

$$(4x^2 + 4x + 1) — (4x^2 — y^2) = (y + 8)(y — 10) \Rightarrow 4x^2 + 4x + 1 — 4x^2 + y^2 = y^2 — 10y + 8y — 80$$

Упрощаем:

$$4x + 1 + y^2 = y^2 — 2y — 80$$

Сократим $y^2$ с обеих сторон:

$$4x + 1 = -2y — 80 \Rightarrow 4x + 2y = -81 \quad \text{(1′)}$$

Второе уравнение:

Распишем:

$$4x(x — 5) — (2x — 3)(2x — 9) = 6y — 104$$

Раскрытие первой части:

$$4x(x — 5) = 4x^2 — 20x$$

Раскрытие второй части:

$$(2x — 3)(2x — 9) = 4x^2 — 6x — 18x + 27 = 4x^2 — 24x + 27$$

Теперь:

$$(4x^2-20x)-(4x^2-24x+27)=6y-104\Rightarrow$$

$$4x^2-20x-4x^2+24x-27=6y-104\Rightarrow 4x-27=6y-104\Rightarrow$$

$$(4x^2 — 20x) — (4x^2 — 24x + 27) = 6y — 104 \Rightarrow 4x^2 — 20x — 4x^2 + 24x — 27 = 6y — 104 \Rightarrow 4x — 27 = 6y — 104 \Rightarrow 4x — 6y = -77 \quad \text{(2′)}$$

Итоговая система:

$$\begin{cases} 4x + 2y = -81 \quad \text{(1′)} \\ 4x — 6y = -77 \quad \text{(2′)} \end{cases}$$

Решим методом вычитания:

Вычтем второе из первого:

$$(4x+2y)-(4x-6y)=-81-(-77)\Rightarrow 4x+2y-4x+6y=-4\Rightarrow$$

$$(4x + 2y) — (4x — 6y) = -81 — (-77) \Rightarrow 4x + 2y — 4x + 6y = -4 \Rightarrow 8y = -4 \Rightarrow y = -0.5$$

Теперь подставим в (1′):

$$4x + 2(-0.5) = -81 \Rightarrow 4x — 1 = -81 \Rightarrow 4x = -80 \Rightarrow x = -20$$

Ответ:

$$\boxed{(-20;\ -0.5)}$$

2)

Решим систему:

$$\begin{cases} (x — 2)(x^2 + 2x + 4) — x(x — 4)(x + 4) = 20 — 20y \\ (3x — 2)(4y + 5) = 2y(6x — 1) — 58 \end{cases}$$

Первое уравнение:

Раскроем каждую часть:

1. Первая часть:

Формула: $(x — 2)(x^2 + 2x + 4)$

Это произведение двух многочленов. Раскроем:

$$(x-2)(x^2+2x+4)=x(x^2+2x+4)-2(x^2+2x+4)\Rightarrow$$

$$(x — 2)(x^2 + 2x + 4) = x(x^2 + 2x + 4) — 2(x^2 + 2x + 4) \Rightarrow x^3 + 2x^2 + 4x — 2x^2 — 4x — 8 = x^3 — 8$$

2. Вторая часть:

$$x(x — 4)(x + 4) = x(x^2 — 16) = x^3 — 16x$$

Подставим:

$$x^3-8-(x^3-16x)=20-20y\Rightarrow x^3-8-x^3+16x=20-20y\Rightarrow$$

$$x^3 — 8 — (x^3 — 16x) = 20 — 20y \Rightarrow x^3 — 8 — x^3 + 16x = 20 — 20y \Rightarrow 16x — 8 = 20 — 20y \Rightarrow 16x + 20y = 28 \quad \text{(1′)}$$

Упростим:

$$4x + 5y = 7 \quad \text{(1»)}$$

Второе уравнение:

Распишем:

$$(3x — 2)(4y + 5) = 2y(6x — 1) — 58$$

Левая часть:

$$\begin{gathered} 3x\cdot 4y=12xy \\ 3x\cdot 5=15x \\ -2\cdot 4y=-8y \\ -2\cdot 5=-10\Rightarrow \end{gathered}$$

$$3x \cdot 4y = 12xy \\ 3x \cdot 5 = 15x \\ -2 \cdot 4y = -8y \\ -2 \cdot 5 = -10 \Rightarrow \text{всё вместе: } 12xy + 15x — 8y — 10$$

Правая часть:

$$2y(6x — 1) = 12xy — 2y \Rightarrow 12xy — 2y — 58$$

Сравним:

$$12xy + 15x — 8y — 10 = 12xy — 2y — 58$$

Убираем одинаковое слагаемое $12xy$:

$$15x-8y-10=-2y-58\Rightarrow 15x-8y+2y=-58+10\Rightarrow$$

$$15x — 8y — 10 = -2y — 58 \Rightarrow 15x — 8y + 2y = -58 + 10 \Rightarrow 15x — 6y = -48 \quad \text{(2′)}$$

Упростим:

$$5x — 2y = -16 \quad \text{(2»)}$$

Итоговая система:

$$\begin{cases} 4x + 5y = 7 \quad \text{(1»)} \\ 5x — 2y = -16 \quad \text{(2»)} \end{cases}$$

Решим методом подстановки или сложения. Умножим:

• (1») на 2: $8x + 10y = 14$
• (2») на 5: $25x — 10y = -80$

Сложим:

$$8x + 10y + 25x — 10y = 14 — 80 \Rightarrow 33x = -66 \Rightarrow x = -2$$

Теперь подставим в (1»):

$$4(-2) + 5y = 7 \Rightarrow -8 + 5y = 7 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3$$

Ответ:

$$\boxed{(-2;\ 3)}$$

Итоговые ответы:

1. $\boxed{(-20;\ -0.5)}$
2. $\boxed{(-2;\ 3)}$