ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1057 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях а и b график уравнения ах + by = 8 проходит через точки A (1; 3) и В (2; -4)?

$$ax + by = 8,\qquad A\ (1;\ 3);\quad B\ (2;\ -4);$$ $$\left\{ \begin{array}{l} a + 3b = 8 \\ 2a — 4b = 8 \end{array} \right. \quad \cdot 2 \quad \left\{ \begin{array}{l} 2a + 6b = 16 \\ 2a — 4b = 8 \end{array} \right. \quad — \quad \left\{ \begin{array}{l} 10b = 8 \\ a + 3b = 8 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{l} b = 0,8 \\ a = 8 — 3b \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} b = 0,8 \\ a = 8 — 2,4 \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} a = 5,6 \\ b = 0,8 \end{array} \right.$$

Ответ: при $a = 5,6;\quad b = 0,8.$

При каких значениях $a$ и $b$ график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точки $A(1; 3)$ и $B(2; -4)$?

ШАГ 1. Подставим координаты точек в уравнение

Если график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению, то есть при подстановке $x$ и $y$ уравнение становится верным.

Подставим точку $A(1; 3)$ в уравнение:

$$a \cdot 1 + b \cdot 3 = 8 \Rightarrow a + 3b = 8 \quad \text{(уравнение ①)}$$

Подставим точку $B(2; -4)$:

$$a \cdot 2 + b \cdot (-4) = 8 \Rightarrow 2a — 4b = 8 \quad \text{(уравнение ②)}$$

ШАГ 2. Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a + 3b = 8 \quad \text{①} \\ 2a — 4b = 8 \quad \text{②} \end{cases}$$

Способ: Метод подстановки

Из уравнения ① выразим $a$:

$$a = 8 — 3b \quad \text{③}$$

Подставим выражение ③ в уравнение ②:

$$2(8 — 3b) — 4b = 8 \Rightarrow 16 — 6b — 4b = 8 \Rightarrow 16 — 10b = 8$$

Решим:

$$-10b = 8 — 16 = -8 \Rightarrow b = \frac{-8}{-10} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Теперь найдём $a$:

Подставим $b = 0.8$ в выражение ③:

$$a = 8 — 3 \cdot 0.8 = 8 — 2.4 = 5.6$$

Проверка подстановкой:

Убедимся, что найденные значения $a = 5.6$, $b = 0.8$ действительно удовлетворяют исходной системе.

Проверим уравнение ①:

$$a + 3b = 5.6 + 3 \cdot 0.8 = 5.6 + 2.4 = 8 \quad \checkmark$$

Проверим уравнение ②:

$$2a — 4b = 2 \cdot 5.6 — 4 \cdot 0.8 = 11.2 — 3.2 = 8 \quad \checkmark$$

Ответ:

$$\boxed{a = 5.6,\quad b = 0.8}$$

Именно при этих значениях прямая $ax + by = 8$ проходит через точки $A(1;\ 3)$ и $B(2;\ -4)$.