ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1058 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( m \) и \( n \) график уравнения \( mx — ny = 6 \) проходит через точки \( C(2; -1) \) и \( D(-6; 5) \)?

\( mx — ny = 6, \quad C(2; -1); \quad D(-6; 5); \)

\( \begin{cases} 2m + n = 6 \\ -6m — 5n = 6 \end{cases} \quad | \cdot 3 \quad \begin{cases} 6m + 3n = 18 \\ -6m — 5n = 6 \end{cases} \quad \begin{cases} -2n = 24 \\ 2m + n = 6 \end{cases} \)

\[
\begin{cases}
n = -12 \\
2m = 6 — n
\end{cases}
\]

\(  \begin{cases} n = -12 \\ 2m = 18 \end{cases} \quad \begin{cases} n = -12 \\ m = 9 \end{cases}. \)

Ответ: при \( m = 9 \); \( n = -12 \).

Задача: При каких значениях \( m \) и \( n \) график уравнения \( mx — ny = 6 \) проходит через точки \( C(2; -1) \) и \( D(-6; 5) \)?

Шаг 1: Подставим координаты точки \( C(2; -1) \) в уравнение \( mx — ny = 6 \).

Для точки \( C(2; -1) \) \( x = 2 \), \( y = -1 \). Подставляем эти значения в уравнение:

\[
m \cdot 2 — n \cdot (-1) = 6
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
2m + n = 6
\]

Это первое уравнение системы, которое получаем при подстановке координат точки \( C \):

\[
2m + n = 6 \quad \text{(уравнение 1)}
\]

Шаг 2: Подставим координаты точки \( D(-6; 5) \) в уравнение \( mx — ny = 6 \).

Для точки \( D(-6; 5) \) \( x = -6 \), \( y = 5 \). Подставляем эти значения в уравнение:

\[
m \cdot (-6) — n \cdot 5 = 6
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
-6m — 5n = 6
\]

Это второе уравнение системы, которое получаем при подстановке координат точки \( D \):

\[
-6m — 5n = 6 \quad \text{(уравнение 2)}
\]

Шаг 3: Решим систему из двух уравнений:

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
2m + n = 6 \\
-6m — 5n = 6
\end{cases}
\]

Для удобства умножим первое уравнение на 3, чтобы привести коэффициенты при \( n \) к одному знаменателю:

\[
3 \cdot (2m + n) = 3 \cdot 6
\]

\[
6m + 3n = 18
\]

Теперь система выглядит так:

\[
\begin{cases}
6m + 3n = 18 \\
-6m — 5n = 6
\end{cases}
\]

Шаг 4: Складываем два уравнения, чтобы исключить \( m \):

Теперь сложим оба уравнения:

\[
(6m + 3n) + (-6m — 5n) = 18 + 6
\]

Приведем подобные члены:

\[
0m — 2n = 24
\]

Это упрощается до:

\[
-2n = 24
\]

Теперь решим относительно \( n \):

\[
n = \frac{24}{-2} = -12
\]

Шаг 5: Подставим найденное значение \( n = -12 \) в первое уравнение:

Подставим \( n = -12 \) в первое уравнение \( 2m + n = 6 \):

\[
2m + (-12) = 6
\]

Упростим уравнение:

\[
2m — 12 = 6
\]

Добавим 12 к обеим частям уравнения:

\[
2m = 18
\]

Теперь решим относительно \( m \):

\[
m = \frac{18}{2} = 9
\]

Ответ: При \( m = 9 \) и \( n = -12 \) график уравнения \( mx — ny = 6 \) проходит через точки \( C(2; -1) \) и \( D(-6; 5) \).