ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1061 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Имеет ли решение система уравнений:

1) Система

\[
\begin{cases}
2x + y = 5, \\
3x — 4y = 24, \\
x — 2y = 9.
\end{cases}
\]

2) Система

\[
\begin{cases}
2x + 3y = -1, \\
3x + 5y = 1, \\
5x + 9y = 5.
\end{cases}
\]

1) \( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x — 4y = 24 \\ x — 2y = 9 \end{cases} \quad \begin{cases} y = 5 — 2x \\ 3x — 4(5 — 2x) = 24 \\ x — 2(5 — 2x) = 9 \end{cases}\)

\(\quad \begin{cases} y = 5 — 2x \\ 11x = 44 \\ 5x = 19 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 4 \\ y = 5 — 2x \end{cases}. \)

Система уравнений не имеет решений.

Ответ: не имеет.

2) \( \begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 5y = 1 \\ 5x + 9y = 5 \end{cases} \quad | \cdot 3 \quad \begin{cases} 6x + 9y = -3 \\ 5x + 9y = 5 \end{cases} \quad\)

\({вычтем из первого уравнения второе:}\)

\(\quad \begin{cases} x = -8 \\ 5(-8) + 9y = 5 \\ 3(-8) + 5y = 1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = -8 \\ y = 5 \end{cases}. \)

Система уравнений имеет решение \((-8; 5)\).

Ответ: имеет, \((-8; 5)\).

1) Система:

\[
\begin{cases}
2x + y = 5, \\
3x — 4y = 24, \\
x — 2y = 9.
\end{cases}
\]

Для решения данной системы уравнений сначала выразим \( y \) из первого уравнения.

Из уравнения \( 2x + y = 5 \) выразим \( y \):

\[
y = 5 — 2x
\]

Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение \( 3x — 4y = 24 \). Подставим \( y = 5 — 2x \):

\[
3x — 4(5 — 2x) = 24
\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
3x — 20 + 8x = 24
\]

\[
11x — 20 = 24
\]

Теперь добавим 20 к обеим частям уравнения:

\[
11x = 44
\]

Решаем относительно \( x \):

\[
x = \frac{44}{11} = 4
\]

Теперь подставим найденное значение \( x = 4 \) в выражение для \( y \), которое мы получили ранее: \( y = 5 — 2x \):

\[
y = 5 — 2 \cdot 4 = 5 — 8 = -3
\]

Таким образом, решение системы уравнений: \( x = 4 \), \( y = -3 \).

Ответ: не имеет.

2) Система:

\[
\begin{cases}
2x + 3y = -1, \\
3x + 5y = 1, \\
5x + 9y = 5.
\end{cases}
\]

Теперь рассмотрим вторую систему уравнений. Для того чтобы упростить систему, умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \( x \) совпали с коэффициентами во втором уравнении. Умножим:

\[
3 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot (-1)
\]

\[
6x + 9y = -3
\]

Теперь вычтем из полученного уравнения второе уравнение \( 3x + 5y = 1 \):

\[
(6x + 9y) — (3x + 5y) = -3 — 1
\]

Вычитаем соответствующие части:

\[
6x — 3x + 9y — 5y = -3 — 1
\]

\[
3x + 4y = -4
\]

Теперь у нас есть новое уравнение \( 3x + 4y = -4 \). Мы также можем работать с третьим уравнением из системы \( 5x + 9y = 5 \). Попробуем решить систему с помощью метода подстановки или исключения.

Для этого давайте выделим переменную \( x \) из одного из уравнений. Используем \( 3x + 4y = -4 \):

\[
x = \frac{-4 — 4y}{3}
\]

Теперь подставим это выражение для \( x \) в третье уравнение \( 5x + 9y = 5 \):

\[
5 \left( \frac{-4 — 4y}{3} \right) + 9y = 5
\]

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[
5(-4 — 4y) + 27y = 15
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
-20 — 20y + 27y = 15
\]

\[
-20 + 7y = 15
\]

Прибавим 20 к обеим частям уравнения:

\[
7y = 35
\]

Решаем относительно \( y \):

\[
y = \frac{35}{7} = 5
\]

Теперь подставим найденное значение \( y = 5 \) в одно из уравнений для нахождения \( x \). Подставим в \( 3x + 4y = -4 \):

\[
3x + 4 \cdot 5 = -4
\]

\[
3x + 20 = -4
\]

Вычитаем 20 из обеих частей уравнения:

\[
3x = -24
\]

Решаем относительно \( x \):

\[
x = \frac{-24}{3} = -8
\]

Таким образом, решение системы уравнений: \( x = -8 \), \( y = 5 \).

Ответ: Система уравнений имеет решение: \( (-8, 5) \).