ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1066 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении а имеет решение система уравнений:

\( \begin{cases}
8x — 7y = 21 \\
5x — 3y = 20 \\
ax + 2y = 24
\end{cases} \)?

\( \begin{cases}
8x — 7y = 21 \\
5x — 3y = 20 \\
ax + 2y = 24
\end{cases} \)

найдем точку пересечения первых двух прямых:

\( \begin{cases}
8x — 7y = 21 \ | \cdot 3 \\
5x — 3y = 20 \ | \cdot 7
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
24x — 21y = 63 \\
35x — 21y = 140
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
-11x = -77 \\
8x — 7y = 21
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 7 \\
7y = 8x — 21
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 7 \\
7y = 35
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 7 \\
y = 5
\end{cases} \)

Точка \( (7; 5) \) — точка пересечения прямых, тогда:

\( ax + 2y = 24 \)

\( 7a + 2 \cdot 5 = 24 \)

\( 7a + 10 = 24 \)

\( 7a = 14 \)

\( a = 2 \).

Ответ: при \( a = 2 \).

Дана система уравнений:

\( \begin{cases}
8x — 7y = 21 \\
5x — 3y = 20 \\
ax + 2y = 24
\end{cases} \)

Сначала найдём точку пересечения первых двух прямых, так как именно она должна удовлетворять и третьему уравнению.

Рассмотрим систему из первых двух уравнений:

\( \begin{cases}
8x — 7y = 21 \\
5x — 3y = 20
\end{cases} \)

Избавимся от переменной \( y \). Для этого приведём коэффициенты при \( y \) к одинаковым значениям.

Первое уравнение умножим на 3, второе уравнение умножим на 7:

\( \begin{cases}
(8x — 7y) \cdot 3 = 21 \cdot 3 \\
(5x — 3y) \cdot 7 = 20 \cdot 7
\end{cases} \)

После умножения получаем:

\( \begin{cases}
24x — 21y = 63 \\
35x — 21y = 140
\end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную \( y \):

\( 35x — 21y — (24x — 21y) = 140 — 63 \)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( 35x — 21y — 24x + 21y = 77 \)

\( 11x = 77 \)

Найдём значение \( x \):

\( x = \frac{77}{11} \)

\( x = 7 \)

Подставим найденное значение \( x = 7 \) в первое уравнение системы:

\( 8x — 7y = 21 \)

\( 8 \cdot 7 — 7y = 21 \)

\( 56 — 7y = 21 \)

Перенесём число 56 в правую часть:

\( -7y = 21 — 56 \)

\( -7y = -35 \)

Найдём значение \( y \):

\( y = 5 \)

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты:

\( (7; 5) \)

Теперь используем третье уравнение системы:

\( ax + 2y = 24 \)

Подставим в него координаты найденной точки \( (7; 5) \):

\( 7a + 2 \cdot 5 = 24 \)

\( 7a + 10 = 24 \)

Перенесём число 10 в правую часть:

\( 7a = 24 — 10 \)

\( 7a = 14 \)

Найдём значение параметра \( a \):

\( a = \frac{14}{7} \)

\( a = 2 \)

Ответ: при \( a = 2 \).