ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1067 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( (x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0 \)

2) \( (x + 2y — 3)^2 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0 \)

3) \( |x — 3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0 \)

4) \( x^2 + y^2 + 10x — 12y + 61 = 0 \)

5) \( 25x^2 + 10y^2 — 30xy + 8y + 16 = 0 \)

1) \( (x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0 \)

\( \begin{cases}
x + y = 0 \\
x — 3 = 0
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 3 \\
y = -x
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 3 \\
y = -3
\end{cases} \).

Ответ: \( (3; -3) \).

2) \( (x + 2y — 3)^2 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0 \)

\( (x + 2y — 3)^2 + (x — 2y)^2 = 0 \)

\( \begin{cases}
x + 2y — 3 = 0 \\
x — 2y = 0
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x + 2y = 3 \\
x — 2y = 0
\end{cases}^+ \)

\( \begin{cases}
2x = 3 \\
2y = x
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 1,5 \\
2y = 1,5
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 1,5 \\
y = 0,75
\end{cases} \).

Ответ: \( (1,5; 0,75) \).

3) \( |x — 3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0 \)

\( \begin{cases}
x — 3y — 6 = 0 \\
9x + 6y — 32 = 0
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x — 3y = 6 \\
9x + 6y = 32
\end{cases} \ | \cdot 2 \)

\( \begin{cases}
2x — 6y = 12 \\
9x + 6y = 32
\end{cases}^+ \)

\( \begin{cases}
11x = 44 \\
x — 3y = 6
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 4 \\
3y = x — 6
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 4 \\
3y = -2
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = 4 \\
y = -\frac{2}{3}
\end{cases} \).

Ответ: \( \left(4; -\frac{2}{3}\right) \).

4) \( x^2 + y^2 + 10x — 12y + 61 = 0 \)

\( (x^2 + 10x + 25) + (y^2 — 12y + 36) = 0 \)

\( (x + 5)^2 + (y — 6)^2 = 0 \)

\( \begin{cases}
x + 5 = 0 \\
y — 6 = 0
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = -5 \\
y = 6
\end{cases} \).

Ответ: \( (-5; 6) \).

5) \( 25x^2 + 10y^2 — 30xy + 8y + 16 = 0 \)

\( (25x^2 — 30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0 \)

\( (5x — 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0 \)

\( \begin{cases}
5x — 3y = 0 \\
y + 4 = 0
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
y = -4 \\
5x = 3y
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
y = -4 \\
5x = -12
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
x = -2,4 \\
y = -4
\end{cases} \).

Ответ: \( (-2,4; -4) \).

1) Дано уравнение:

\( (x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0 \)

Сумма квадратов равна нулю только в том случае, когда каждый квадрат равен нулю.

Следовательно, получаем систему:

\( \begin{cases}
x + y = 0 \\
x — 3 = 0
\end{cases} \)

Из второго уравнения находим:

\( x = 3 \)

Подставим это значение в первое уравнение:

\( 3 + y = 0 \)

Отсюда:

\( y = -3 \)

Решение системы:

\( \begin{cases}
x = 3 \\
y = -3
\end{cases} \)

Ответ: \( (3; -3) \).

2) Дано уравнение:

\( (x + 2y — 3)^2 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0 \)

Заметим, что выражение \( x^2 — 4xy + 4y^2 \) является полным квадратом:

\( x^2 — 4xy + 4y^2 = (x — 2y)^2 \)

Тогда уравнение принимает вид:

\( (x + 2y — 3)^2 + (x — 2y)^2 = 0 \)

Сумма квадратов равна нулю, значит каждый квадрат равен нулю:

\( \begin{cases}
x + 2y — 3 = 0 \\
x — 2y = 0
\end{cases} \)

Приведём систему к более удобному виду:

\( \begin{cases}
x + 2y = 3 \\
x — 2y = 0
\end{cases} \)

Сложим уравнения системы:

\( (x + 2y) + (x — 2y) = 3 + 0 \)

\( 2x = 3 \)

Отсюда:

\( x = \frac{3}{2} \)

Подставим найденное значение в уравнение \( x — 2y = 0 \):

\( \frac{3}{2} — 2y = 0 \)

\( 2y = \frac{3}{2} \)

\( y = \frac{3}{4} \)

Решение системы:

\( \begin{cases}
x = \frac{3}{2} \\
y = \frac{3}{4}
\end{cases} \)

Ответ: \( (1,5; 0,75) \).

3) Дано уравнение:

\( |x — 3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0 \)

Сумма модуля и квадрата равна нулю только тогда, когда оба выражения равны нулю.

Получаем систему:

\( \begin{cases}
x — 3y — 6 = 0 \\
9x + 6y — 32 = 0
\end{cases} \)

Приведём систему к удобному виду:

\( \begin{cases}
x — 3y = 6 \\
9x + 6y = 32
\end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 2:

\( \begin{cases}
2x — 6y = 12 \\
9x + 6y = 32
\end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( 2x — 6y + 9x + 6y = 12 + 32 \)

\( 11x = 44 \)

Отсюда:

\( x = 4 \)

Подставим значение \( x = 4 \) в уравнение \( x — 3y = 6 \):

\( 4 — 3y = 6 \)

\( -3y = 2 \)

\( y = -\frac{2}{3} \)

Решение:

\( \begin{cases}
x = 4 \\
y = -\frac{2}{3}
\end{cases} \)

Ответ: \( \left(4; -\frac{2}{3}\right) \).

4) Дано уравнение:

\( x^2 + y^2 + 10x — 12y + 61 = 0 \)

Сгруппируем слагаемые:

\( (x^2 + 10x + 25) + (y^2 — 12y + 36) = 0 \)

Запишем в виде квадратов:

\( (x + 5)^2 + (y — 6)^2 = 0 \)

Каждый квадрат равен нулю:

\( \begin{cases}
x + 5 = 0 \\
y — 6 = 0
\end{cases} \)

Отсюда:

\( \begin{cases}
x = -5 \\
y = 6
\end{cases} \)

Ответ: \( (-5; 6) \).

5) Дано уравнение:

\( 25x^2 + 10y^2 — 30xy + 8y + 16 = 0 \)

Сгруппируем слагаемые:

\( (25x^2 — 30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0 \)

Запишем в виде квадратов:

\( (5x — 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0 \)

Получаем систему:

\( \begin{cases}
5x — 3y = 0 \\
y + 4 = 0
\end{cases} \)

Из второго уравнения:

\( y = -4 \)

Подставим в первое уравнение:

\( 5x — 3 \cdot (-4) = 0 \)

\( 5x + 12 = 0 \)

\( 5x = -12 \)

\( x = -\frac{12}{5} \)

Решение:

\( \begin{cases}
x = -\frac{12}{5} \\
y = -4
\end{cases} \)

Ответ: \( (-2,4; -4) \).