ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1069 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \( \begin{cases}
\frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15 \\
\frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23
\end{cases} \)

2) \( \begin{cases}
\frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{3x — 2y} = 3 \\
\frac{20}{3x — 2y} — \frac{15}{2x — 3y} = 1
\end{cases} \)

1) \( \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15 & | \cdot 3 \\ \frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23 & | \cdot 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \frac{6}{x} + \frac{15}{y} = 45 \\ \frac{6}{x} + \frac{16}{y} = 46 \end{cases}^- \)

\( \begin{cases} \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{6}{x} + \frac{15}{y} = 45 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1 \\ \frac{6}{x} + \frac{15}{1} = 45 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1 \\ \frac{6}{x} = 30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 0,2 \\ y = 1 \end{cases} \)

Ответ: \( (0,2; 1) \)

2) \( \begin{cases} \frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{3x — 2y} = 3 & | \cdot 3 \\ \frac{20}{3x — 2y} — \frac{15}{2x — 3y} = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \frac{15}{2x — 3y} + \frac{30}{3x — 2y} = 9 \\ \frac{20}{3x — 2y} — \frac{15}{2x — 3y} = 1 \end{cases}^+ \)

\( \begin{cases} \frac{50}{3x — 2y} = 10 \\ \frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{3x — 2y} = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 50 = 10(3x — 2y) \\ \frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{3x — 2y} = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \frac{50}{3x — 2y} = 10 \\ \frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{3x — 2y} = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x — 2y = 5 \\ \frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{5} = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x — 2y = 5 \\ \frac{5}{2x — 3y} + 2 = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x — 2y = 5 \\ \frac{5}{2x — 3y} = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x — 2y = 5 & | \cdot 2 \\ 2x — 3y = 5 & | \cdot 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6x — 4y = 10 \\ 6x — 9y = 15 \end{cases}^- \)

\( \begin{cases} 5y = -5 \\ 2x — 3y = 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1 \\ 2x = 5 + 3y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1 \\ 2x = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1 \\ x = 1 \end{cases} \)

Ответ: \( (1; -1) \)

1) Дана система:

\( \begin{cases}
\frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15 \ | \cdot 3 \\
\frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23 \ | \cdot 2
\end{cases} \)

Умножаем первое уравнение на 3, второе на 2:

\( \begin{cases}
\frac{6}{x} + \frac{15}{y} = 45 \\
\frac{6}{x} + \frac{16}{y} = 46
\end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить \(\frac{6}{x}\):

\(\frac{6}{x} + \frac{16}{y} — \left(\frac{6}{x} + \frac{15}{y}\right) = 46 — 45 \)

\(\frac{1}{y} = 1 \)

Следовательно:

\( y = 1 \)

Подставим \( y = 1 \) в первое уравнение:

\(\frac{6}{x} + \frac{15}{1} = 45 \)

\(\frac{6}{x} + 15 = 45 \)

\(\frac{6}{x} = 30 \)

\( x = \frac{6}{30} \)

\( x = 0,2 \)

Решение системы:

\( \begin{cases} x = 0,2 \\ y = 1 \end{cases} \)

Ответ: \( (0,2; 1) \).

2) Дана система:

\( \begin{cases}
\frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{3x — 2y} = 3 \ | \cdot 3 \\
\frac{20}{3x — 2y} — \frac{15}{2x — 3y} = 1
\end{cases} \)

Умножаем первое уравнение на 3:

\(\frac{15}{2x — 3y} + \frac{30}{3x — 2y} = 9\)

Второе уравнение оставляем без изменений:

\(\frac{20}{3x — 2y} — \frac{15}{2x — 3y} = 1\)

Складываем два уравнения для исключения \(\frac{15}{2x — 3y}\):

\(\left(\frac{15}{2x — 3y} + \frac{30}{3x — 2y}\right) + \left(\frac{20}{3x — 2y} — \frac{15}{2x — 3y}\right) = 9 + 1 \)

\(\frac{50}{3x — 2y} = 10 \)

Следовательно:

\( 3x — 2y = \frac{50}{10} \)

\( 3x — 2y = 5 \)

Подставим это в первое исходное уравнение для проверки:

\(\frac{5}{2x — 3y} + \frac{10}{5} = 3 \)

\(\frac{5}{2x — 3y} + 2 = 3 \)

\(\frac{5}{2x — 3y} = 1 \)

\( 2x — 3y = 5 \)

Таким образом получаем линейную систему:

\( \begin{cases}
3x — 2y = 5 \\
2x — 3y = 5
\end{cases} \)

Решаем методом умножения для исключения переменной \(x\). Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:

\( \begin{cases}
6x — 4y = 10 \\
6x — 9y = 15
\end{cases}^- \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(-5y = 5 \)

\( y = -1 \)

Подставим значение \( y \) во второе уравнение \( 2x — 3y = 5 \):

\( 2x — 3 \cdot (-1) = 5 \)

\( 2x + 3 = 5 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = 1 \)

Решение системы:

\( \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases} \)

Ответ: \( (1; -1) \).