ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1074 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Пусть первое число \(3n + 1\), а второе число \(3n — 1\).

Докажем, что разность квадратов данных чисел кратна 3:

\(
\frac{(3n + 1)^2 — (3n — 1)^2}{3}
=
\frac{9n^2 + 6n + 1 — 9n^2 + 6n — 1}{3}
=
\frac{12n}{3}
=
4n
\)
— так как 12 делится на 3, то и все выражение делится на 3.

Пусть даны два произвольных натуральных числа, каждое из которых не делится на 3.

Известно, что любое натуральное число при делении на 3 может давать один из остатков: 0, 1 или 2.

Так как числа не делятся нацело на 3, то остаток от деления каждого из них на 3 равен либо 1, либо 2.

Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1. Оба числа дают остаток 1 при делении на 3.

Тогда первое число можно представить в виде \(3a + 1\), а второе — в виде \(3b + 1\), где \(a\) и \(b\) — натуральные числа.

Рассмотрим разность квадратов этих чисел:

\(
(3a + 1)^2 — (3b + 1)^2
\)

Раскроем скобки:

\(
9a^2 + 6a + 1 — (9b^2 + 6b + 1)
=
9a^2 + 6a + 1 — 9b^2 — 6b — 1
\)

Сократим одинаковые слагаемые:

\(
9a^2 — 9b^2 + 6a — 6b
\)

Вынесем 3 за скобки:

\(
3(3a^2 — 3b^2 + 2a — 2b)
\)

Следовательно, полученное выражение делится на 3.

Случай 2. Оба числа дают остаток 2 при делении на 3.

Тогда первое число имеет вид \(3a + 2\), а второе — \(3b + 2\).

Рассмотрим разность квадратов:

\(
(3a + 2)^2 — (3b + 2)^2
\)

Раскроем скобки:

\(
9a^2 + 12a + 4 — (9b^2 + 12b + 4)
=
9a^2 + 12a + 4 — 9b^2 — 12b — 4
\)

Сократим одинаковые слагаемые:

\(
9a^2 — 9b^2 + 12a — 12b
\)

Вынесем 3 за скобки:

\(
3(3a^2 — 3b^2 + 4a — 4b)
\)

Следовательно, и в этом случае разность квадратов делится на 3.

Случай 3. Одно число даёт остаток 1, а другое — остаток 2 при делении на 3.

Пусть первое число имеет вид \(3a + 1\), а второе — \(3b + 2\).

Рассмотрим разность квадратов:

\(
(3a + 1)^2 — (3b + 2)^2
\)

Раскроем скобки:

\(
9a^2 + 6a + 1 — (9b^2 + 12b + 4)
=
9a^2 + 6a + 1 — 9b^2 — 12b — 4
\)

Приведём подобные слагаемые:

\(
9a^2 — 9b^2 + 6a — 12b — 3
\)

Вынесем 3 за скобки:

\(
3(3a^2 — 3b^2 + 2a — 4b — 1)
\)

Следовательно, и в этом случае выражение делится на 3.

Вывод. Во всех возможных случаях разность квадратов двух натуральных чисел, каждое из которых не делится на 3, кратна 3.