ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1076 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении х:

1) \(-x^2 — 4x + 6\)

2) \(-x^2 + 16x — 64\)

3) \(-x^2 + 8x — 18 \)

1) \(-x^2 — 4x + 6 = -x^2 — 4x + 10 — 4 = -(x^2 + 4x + 4) + 10 =\)

\(= -(x + 2)^2 + 10\) — значение выражения может принимать положительные значения, например, при \(x = 0\).

2) \(-x^2 + 16x — 64 = -(x^2 — 16x + 64) = -(x — 8)^2\) — значение выражения может быть равно нулю при \(x = 8\).

3) \(-x^2 + 8x — 18 = -x^2 + 8x — 16 — 2 = -(x^2 — 8x + 16) — 2 =\)

\(= -(x — 4)^2 — 2\) — значение выражения принимает отрицательные значения при любом \(x\).

Ответ: 3).

Рассмотрим выражения и определим, при каких значениях \(x\) они могут быть положительными, равными нулю или отрицательными.

1) Рассмотрим выражение \(-x^2 — 4x + 6\).

Сгруппируем слагаемые и дополним квадрат:

\(-x^2 — 4x + 6 = -x^2 — 4x + 10 — 4\).

Выделим полный квадрат:

\(-x^2 — 4x + 10 = -(x^2 + 4x + 4) + 10 = -(x + 2)^2 + 10\).

Так как \((x + 2)^2 \ge 0\) при любом \(x\), выражение \(-(x + 2)^2 + 10\) может быть положительным, например, при \(x = 0\):

\(-(0 + 2)^2 + 10 = -4 + 10 = 6\).

Следовательно, первое выражение принимает положительные значения.

2) Рассмотрим выражение \(-x^2 + 16x — 64\).

Выделим полный квадрат:

\(-x^2 + 16x — 64 = -(x^2 — 16x + 64) = -(x — 8)^2\).

Так как \((x — 8)^2 \ge 0\) при любом \(x\), выражение \(-(x — 8)^2 \le 0\).

При \(x = 8\) имеем:

\(-(8 — 8)^2 = 0\).

Следовательно, второе выражение может быть равно нулю.

3) Рассмотрим выражение \(-x^2 + 8x — 18\).

Сгруппируем слагаемые:

\(-x^2 + 8x — 18 = -x^2 + 8x — 16 — 2\).

Выделим полный квадрат:

\(-x^2 + 8x — 16 = -(x^2 — 8x + 16) = -(x — 4)^2\).

Тогда выражение примет вид:

\(-(x — 4)^2 — 2\).

Так как \((x — 4)^2 \ge 0\) при любом \(x\), то \(-(x — 4)^2 \le 0\), а значит:

\(-(x — 4)^2 — 2 < 0\) при любом \(x\).

Следовательно, только третье выражение принимает исключительно отрицательные значения при любом значении \(x\).

Ответ: 3).