ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1077 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Клетки таблицы размером 101 х 101 заполнены числами так, что произведение чисел в каждом столбце является отрицательным. Может ли оказаться, что количество строк, произведение чисел в которых положительно, равно 51?

Нет, не может. Т.к. произведение чисел в каждом столбце отрицательно, а столбцов нечетное количество, то произведение всех чисел в таблице отрицательно.

Если бы произведение положительных строк было бы 51 шт., то \(101 — 51 = 50\) строк — произведение отрицательно.

\(50\) — четное число, поэтому это произведение будет положительно, а значит, будет положительным и произведение всех чисел таблицы.

Этого быть не может.

Рассмотрим таблицу размером \(101 \times 101\), заполненную числами.

По условию задачи известно, что произведение чисел в каждом столбце является отрицательным.

Это означает следующее: в каждом столбце количество отрицательных чисел является нечетным, так как произведение чисел отрицательно тогда и только тогда, когда множителей с отрицательным знаком нечетное число.

Так как столбцов \(101\), а это нечетное число, то при перемножении произведений всех столбцов мы получим произведение всех \(101 \cdot 101\) чисел таблицы. Поскольку каждый столбец дает отрицательное произведение, а таких столбцов нечетное количество, общее произведение всех чисел таблицы будет отрицательным.

Теперь рассмотрим строки таблицы. Пусть произведение чисел в \(51\) строке положительно. Тогда в остальных строках произведение будет отрицательным.

Всего строк \(101\), значит количество строк с отрицательным произведением равно

\(101 — 51 = 50\).

Число \(50\) — четное. Произведение всех строковых произведений будет равно произведению \(51\) положительного числа и \(50\) отрицательных чисел.

Произведение четного количества отрицательных чисел является положительным, а произведение с положительными множителями также остается положительным. Следовательно, произведение всех чисел таблицы, найденное через строки, будет положительным.

Мы получили противоречие: при рассмотрении по столбцам произведение всех чисел таблицы оказалось отрицательным, а при рассмотрении по строкам — положительным.

Такое противоречие невозможно.

Следовательно, количество строк, произведение чисел в которых положительно, не может быть равно \(51\).

Ответ: нет, не может.