ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1097 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

(Задача из индийского фольклора.) Один говорит другому: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Другой отвечает: «А если ты дашь мне 10 рупий, то я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?

Пусть \(x\) рупий было у одного и \(y\) рупий у другого.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} (x — 100) \cdot 2 = y + 100 \\ x + 10 = 6 \cdot (y — 10) \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x — 200 — y = 100 \\ x + 10 — 6y = -60 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x — y = 300 \\ x — 6y = -70 \end{cases} | \cdot 2\)

\(\begin{cases} 2x — y = 300 \\ 2x — 12y = -140 \end{cases}^-\)

\(\begin{cases} 11y = 440 \\ 2x — y = 300 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 40 \\ 2x = 300 + 40 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 40 \\ x = 170 \end{cases}\)

Ответ: 170 рупий было у одного и 40 рупий у другого.

Один говорит другому: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Другой отвечает: «А если ты дашь мне 10 рупий, то я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?

Обозначим через \(x\) количество рублей (рупий) у первого человека, а через \(y\) — у второго.

1) Если первый человек получит 100 рупий от второго, то у него станет \(x + 100\), а у второго — \(y — 100\). По условию, теперь первый станет вдвое богаче второго:

\(x + 100 = 2 \cdot (y — 100)\)

Раскроем скобки:

\(x + 100 = 2y — 200\)

Переносим числа в левую часть:

\(x — 2y = -300\)

2) Если первый отдаст 10 рупий второму, то у первого останется \(x — 10\), а у второго станет \(y + 10\). По условию, теперь второй станет в 6 раз богаче первого:

\(y + 10 = 6 \cdot (x — 10)\)

Раскроем скобки:

\(y + 10 = 6x — 60\)

Переносим числа в левую часть:

\(y — 6x = -70\)

Теперь имеем систему уравнений:

\(\begin{cases} x — 2y = -300 \\ -6x + y = -70 \end{cases}\)

Удобнее умножим второе уравнение на -1:

\(\begin{cases} x — 2y = -300 \\ 6x — y = 70 \end{cases}\)

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 1, а второе оставим как есть:

\(x — 2y = -300\)

\(6x — y = 70\)

Выразим \(y\) из второго уравнения:

\(-y = 70 — 6x \quad ⇒ \quad y = 6x — 70\)

Подставим в первое уравнение:

\(x — 2(6x — 70) = -300\)

\(x — 12x + 140 = -300\)

\(-11x + 140 = -300\)

\(-11x = -440\)

\(x = 40\)

Теперь находим \(y\):

\(y = 6x — 70 = 6 \cdot 40 — 70 = 240 — 70 = 170\)

Следовательно, первый человек имел 40 рупий, а второй — 170 рупий.

Ответ: 40 рупий и 170 рупий.