ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1110 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Длины сторон прямоугольника выражаются целым числом сантиметров. Если одну из его сторон уменьшить на 3 см, а другую увеличить на 5 см, то площадь полученного прямоугольника станет равной 41 см². Найдите стороны исходного прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника были \(a\) см и \(b\) см.

Тогда площадь прямоугольника была \(ab\) см².

Если одну сторону уменьшить на 3 см, а вторую увеличить на 5 см, то они станут \((a — 3)\) см и \((b + 5)\) см. Тогда площадь нового прямоугольника станет \((a — 3)(b + 5)\) см² или 41 см².

Составим уравнение:

\((a — 3)(b + 5) = 41\)

Так как число 41 является простым, то оно имеет только два делителя: 1 и 41.

Если \(a — 3 = 1 \pm a = 4\); тогда \(b + 5 = 41 \pm b = 36\)

Если \(a — 3 = 41 \pm a = 44\); тогда \(b + 5 = 1 \pm b = -4 \Rightarrow\) не подходит.

Следовательно, стороны прямоугольника равны 4 см и 36 см.

Ответ: 4 см и 36 см.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны целым числам \(a\) см и \(b\) см.

Известно, что если одну сторону уменьшить на 3 см, а другую увеличить на 5 см, то площадь нового прямоугольника составит 41 см². Запишем это в виде уравнения:

Новые стороны: \((a — 3)\) см и \((b + 5)\) см.

Площадь нового прямоугольника равна произведению его сторон:

\((a — 3)(b + 5) = 41\)

Раскроем скобки для наглядности:

\(a \cdot b + 5a — 3b — 15 = 41\)

Упрощаем уравнение, переносим все члены в одну сторону:

\(ab + 5a — 3b — 56 = 0\)

Однако заметим, что число 41 является простым. Простое число имеет только два положительных делителя: 1 и 41. Так как стороны прямоугольника — целые числа, произведение \((a — 3)(b + 5) = 41\) может быть равно только одной из комбинаций делителей 41:

Возможные варианты:

1) \(a — 3 = 1\) и \(b + 5 = 41\)

Вычислим стороны:

\(a = 1 + 3 = 4\)

\(b = 41 — 5 = 36\)

2) \(a — 3 = 41\) и \(b + 5 = 1\)

Вычислим стороны:

\(a = 41 + 3 = 44\)

\(b = 1 — 5 = -4\) — это отрицательная длина, что невозможно для стороны прямоугольника, поэтому этот вариант отбрасываем.

Проверим правильность найденного варианта:

Уменьшим одну сторону на 3 см: \(4 — 3 = 1\) см

Увеличим другую сторону на 5 см: \(36 + 5 = 41\) см

Площадь нового прямоугольника: \(1 \cdot 41 = 41\) см² — совпадает с условием задачи.

Следовательно, стороны исходного прямоугольника равны \(4\) см и \(36\) см.

Ответ: 4 см и 36 см.