ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1111 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, а две другие уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 24 см². Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть \(a\) см — длина прямоугольника, а \(b\) см — ширина прямоугольника.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 2a + 2b = 28 \\ (a + 6) \cdot (b — 2) = ab + 24 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2a + 2b = 28 \\ ab — 2a + 6b — 12 — ab = 24 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2a + 2b = 28 \\ 6b — 2a = 36 \end{cases}^+\)

\(\begin{cases} 8b = 64 \\ 6b — 2a = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 8 \\ 2a = 6 \cdot 8 — 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 8 \\ 2a = 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 8 \\ a = 6 \end{cases}\)

Ответ: 6 см длина прямоугольника и 8 см ширина прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна \(a\) см, а ширина — \(b\) см.

Периметр прямоугольника равен 28 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\(P = 2a + 2b\)

Следовательно, получаем первое уравнение:

\(2a + 2b = 28\)

Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, а две другие уменьшить на 2 см, новые стороны будут:

Длина: \(a + 6\) см, ширина: \(b — 2\) см

Площадь нового прямоугольника равна произведению новых сторон:

\((a + 6) \cdot (b — 2)\)

Известно, что площадь увеличилась на 24 см² по сравнению с исходной площадью \(ab\), поэтому составим второе уравнение:

\((a + 6)(b — 2) = ab + 24\)

Раскроем скобки в левом выражении:

\(ab — 2a + 6b — 12 = ab + 24\)

Вычтем \(ab\) из обеих частей:

\(-2a + 6b — 12 = 24\)

Прибавим 12 к обеим частям:

\(-2a + 6b = 36\)

Теперь имеем систему уравнений:

\(\begin{cases} 2a + 2b = 28 \\ -2a + 6b = 36 \end{cases}\)

Сложим оба уравнения для исключения \(a\):

\((2a + 2b) + (-2a + 6b) = 28 + 36\)

\(8b = 64\)

Разделим обе части на 8:

\(b = \frac{64}{8} = 8\)

Подставим \(b = 8\) в первое уравнение \(2a + 2b = 28\):

\(2a + 2 \cdot 8 = 28\)

\(2a + 16 = 28\)

Вычтем 16 из обеих частей:

\(2a = 12\)

Разделим на 2:

\(a = \frac{12}{2} = 6\)

Следовательно, длина прямоугольника равна 6 см, а ширина — 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.