ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1112 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 45 см². Если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 17 см². Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть \(a\) см — длина прямоугольника, а \(b\) см — ширина прямоугольника.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} (a + 3)(b + 3) = ab + 45 \\ (a + 4)(b — 5) = ab — 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} ab + 3a + 3b + 9 — ab = 45 \\ ab — 5a + 4b — 20 — ab = -17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3a + 3b = 36 & | : 3 \\ 4b — 5a = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a + b = 12 & | \cdot 5 \\ 4b — 5a = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5a + 5b = 60 \\ 4b — 5a = 3 \end{cases}^+\)

\(\begin{cases} 9b = 63 \\ 4b — 5a = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 7 \\ 5a = 4 \cdot 7 — 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 7 \\ 5a = 25 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 7 \\ a = 5 \end{cases}\)

Ответ: 5 см длина прямоугольника и 7 см ширина прямоугольника.

Пусть длина исходного прямоугольника равна \(a\) см, а ширина — \(b\) см.

Известно, что если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, площадь увеличится на 45 см². Новые стороны:

\(a + 3\) и \(b + 3\)

Площадь нового прямоугольника:

\((a + 3)(b + 3)\)

Площадь увеличилась на 45 см² по сравнению с исходной площадью \(ab\):

\((a + 3)(b + 3) = ab + 45\)

Раскроем скобки:

\(ab + 3a + 3b + 9 = ab + 45\)

Вычтем \(ab\) из обеих частей:

\(3a + 3b + 9 = 45\)

Вычтем 9:

\(3a + 3b = 36\)

Разделим обе части на 3:

\(a + b = 12\)

Далее известно, что если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, площадь уменьшится на 17 см². Новые стороны:

Длина: \(a + 4\), ширина: \(b — 5\)

Площадь нового прямоугольника:

\((a + 4)(b — 5)\)

Площадь уменьшилась на 17 см² по сравнению с исходной площадью \(ab\):

\((a + 4)(b — 5) = ab — 17\)

Раскроем скобки:

\(ab — 5a + 4b — 20 = ab — 17\)

Вычтем \(ab\) из обеих частей:

\(-5a + 4b — 20 = -17

Прибавим 20 к обеим частям:

\(-5a + 4b = 3\)

Теперь имеем систему уравнений:

\(\begin{cases} a + b = 12 \\ -5a + 4b = 3 \end{cases}\)

Выразим \(a\) через \(b\) из первого уравнения:

\(a = 12 — b\)

Подставим в второе уравнение:

\(-5(12 — b) + 4b = 3\)

\(-60 + 5b + 4b = 3

\(9b — 60 = 3

Прибавим 60 к обеим частям:

\(9b = 63\)

Разделим на 9:

\(b = \frac{63}{9} = 7\)

Теперь находим \(a\):

\(a = 12 — 7 = 5\)

Следовательно, длина прямоугольника равна 5 см, а ширина — 7 см.

Ответ: 5 см и 7 см.