ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1117 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Длины сторон прямоугольника выражаются целым числом сантиметров. Если одну из его сторон уменьшить на 2 см, а другую уменьшить на 5 см, то площадь полученного прямоугольника станет равной 21 см². Найдите стороны исходного прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника были \(a\) см и \(b\) см.

Тогда площадь прямоугольника была \(ab\) см².

Если одну сторону уменьшить на 2 см, а вторую уменьшить на 5 см, то они станут \((a — 2)\) см и \((b — 5)\) см. Тогда площадь нового прямоугольника станет \((a — 2)(b — 5)\) см² или 21 см².

Составим уравнение:

\((a — 2)(b — 5) = 21\).

Делители числа 21: 1 и 21; 3 и 7.

Если \(a — 2 = 1 \Longrightarrow a = 3\); тогда \(b — 5 = 21 \Longrightarrow b = 26\).

Если \(a — 2 = 21 \Longrightarrow a = 23\); тогда \(b — 5 = 1 \Longrightarrow b = 6\).

Если \(a — 2 = 3 \Longrightarrow a = 5\); тогда \(b — 5 = 7 \Longrightarrow b = 12\).

Если \(a — 2 = 7 \Longrightarrow a = 9\); тогда \(b — 5 = 3 \Longrightarrow b = 8\).

Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 см и 26 см, или 23 см и 6 см, или 5 см и 12 см, или 9 см и 8 см.

Ответ: 3 см и 26 см, или 23 см и 6 см, или 5 см и 12 см, или 9 см и 8 см.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны \(a\) см и \(b\) см, где \(a\) и \(b\) — целые положительные числа.

Тогда площадь исходного прямоугольника равна:

\(ab\) см²

По условию задачи одну сторону прямоугольника уменьшили на 2 см, а другую уменьшили на 5 см. После этого стороны стали равны:

\((a — 2)\) см и \((b — 5)\) см

Площадь полученного прямоугольника равна 21 см², следовательно, можно составить уравнение:

\((a — 2)(b — 5) = 21\)

Число 21 разлагается на множители следующим образом:

\(21 = 1 \cdot 21 = 3 \cdot 7\)

Рассмотрим все возможные случаи, учитывая, что длины сторон должны быть положительными целыми числами.

Первый случай:

\(a — 2 = 1\), \(b — 5 = 21\)

Отсюда:

\(a = 3\), \(b = 26\)

Второй случай:

\(a — 2 = 21\), \(b — 5 = 1\)

Отсюда:

\(a = 23\), \(b = 6\)

Третий случай:

\(a — 2 = 3\), \(b — 5 = 7\)

Отсюда:

\(a = 5\), \(b = 12\)

Четвёртый случай:

\(a — 2 = 7\), \(b — 5 = 3\)

Отсюда:

\(a = 9\), \(b = 8\)

Во всех найденных случаях значения \(a\) и \(b\) являются целыми положительными числами, следовательно, все они удовлетворяют условию задачи.

Ответ: стороны исходного прямоугольника равны 3 см и 26 см, или 23 см и 6 см, или 5 см и 12 см, или 9 см и 8 см.