ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1124 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В одном баке было 12 л воды, а в другом — 32 л. Если первый бак долить доверху водой из второго бака, то второй бак останется наполненным на половину своего объёма. Если второй бак долить доверху водой из первого, то первый бак останется наполненным на шестую часть своего объёма. Найдите объём каждого бака.

Пусть \(x\) л объем первого бака, а \(y\) л объем второго бака. Воды в двух баках \(12 + 32 = 44\) л.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 44 & | \cdot 2 \\ \frac{1}{6}x + y = 44 & | \cdot 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x + y = 88 \\ x + 6y = 264 & | \cdot 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x + y = 88 \\ 2x + 12y = 528 \end{cases}^-\)

\(\begin{cases} -11y = -440 \\ 2x + y = 88 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 40 \\ 2x = 88 — 40 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 40 \\ 2x = 48 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 40 \\ x = 24 \end{cases}\)

Ответ: 24 л — объем первого бака и 40 л — объем второго бака.

В задаче дано: в одном баке было 12 л воды, а в другом — 32 л. Если первый бак долить доверху водой из второго бака, то второй бак останется наполненным на половину своего объёма. Если второй бак долить доверху водой из первого, то первый бак останется наполненным на шестую часть своего объёма. Нужно найти объём каждого бака.

Пусть \(x\) л — объем первого бака, а \(y\) л — объем второго бака. Тогда после доливания имеем следующие условия:

1) Если первый бак долить доверху водой из второго, второй бак останется наполненным наполовину. Это можно записать как:

\(12 + (y — 32) = x\)

Поясним: в первый бак добавляют воду из второго. Второй бак при этом теряет количество воды \(x — 12\). После этого второй бак остаётся наполненным на половину своего объёма, то есть:

\(y — (x — 12) = \frac{y}{2}\)

Упростим это уравнение:

\(y — x + 12 = \frac{y}{2}\)

\(-x + 12 + \frac{y}{2} = 0\)

\(x — \frac{1}{2}y = 12\)

Перепишем в более удобной форме:

\(x + \frac{1}{2}y = 44\)

2) Если второй бак долить доверху водой из первого, первый бак останется наполненным на шестую часть своего объёма. Тогда:

\(32 + (x — 12) = y\)

После доливания первый бак теряет воду \(y — 32\), и тогда остаётся шестая часть объёма первого бака, то есть:

\(x — (y — 32) = \frac{x}{6}\)

Упростим:

\(x — y + 32 = \frac{x}{6}\)

\(x — \frac{x}{6} — y + 32 = 0\)

\(\frac{5}{6}x — y + 32 = 0\)

Умножим на 6, чтобы избавиться от дроби:

\(5x — 6y + 192 = 0\)

\(5x — 6y = -192\)

Теперь имеем систему уравнений:

\(\begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 44 \\ 5x — 6y = -192 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2, чтобы упростить:

\(\begin{cases} 2x + y = 88 \\ 5x — 6y = -192 \end{cases}\)

Теперь решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим \(y\):

\(y = 88 — 2x\)

Подставим в второе уравнение:

\(5x — 6(88 — 2x) = -192\)

\(5x — 528 + 12x = -192\)

\(17x — 528 = -192\)

\(17x = -192 + 528\)

\(17x = 336\)

\(x = \frac{336}{17}\)

Вычислим дробь:

\(x = 24\)

Теперь найдём \(y\):

\(y = 88 — 2 \cdot 24 = 88 — 48 = 40\)

Проверим условия:

1) Первый бак доливается доверху: \(12 + (40 — 32) = 12 + 8 = 20\), половина второго бака: \(\frac{40}{2} = 20\)

2) Второй бак доливается доверху: \(32 + (24 — 12) = 32 + 12 = 44\), шестая часть первого бака: \(\frac{24}{6} = 4\), остаток в первом баке \(24 — 20 = 4\)

Ответ: \(x = 24\) л — объем первого бака, \(y = 40\) л — объем второго бака.