ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1125 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В двух бочках ёмкостью 40 л и 60 л было некоторое количество воды. Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется \(\frac{5}{7}\) количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется \(\frac{5}{14}\) количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала?

Пусть \(x\) л воды было в первой бочке сначала, а \(y\) л воды было во второй бочке сначала. В первый бак перелили \(y — \frac{5}{7}y = \frac{2}{7}y\) л воды, значит, в нем стало \(x + \frac{2}{7}y = 40\) л воды. Во второй бак перелили \(x — \frac{5}{14}x = \frac{9}{14}x\) л воды. значит, в нем стало \(y + \frac{9}{14}x = 60\) л воды.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x + \frac{2}{7}y = 40 & | \cdot 7 \\ y + \frac{9}{14}x = 60 & | \cdot 14 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 7x + 2y = 280 & | \cdot 7 \\ 14y + 9x = 840 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 49x + 14y = 1960 \\ 14y + 9x = 840 \end{cases}^-\)

\(\begin{cases} 40x = 1120 \\ 14y + 9x = 840 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 28 \\ 14y = 840 — 9 \cdot 28 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 28 \\ 14y = 588 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 28 \\ y = 42 \end{cases}\)

Ответ: 28 л воды было в первой бочке и 42 л воды было во второй бочке.

В задаче дано: две бочки ёмкостью 40 л и 60 л. Пусть в первой (меньшей) бочке было \(x\) л воды, а во второй (большей) бочке было \(y\) л воды.

Условие 1: если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется \(\frac{5}{7}\) количества воды, которое было в ней сначала.
Количество воды, перелитое из второй бочки в первую, равно \(y — \frac{5}{7}y = \frac{2}{7}y\). После переливания в первой бочке станет:

\(x + \frac{2}{7}y = 40\)

Условие 2: если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется \(\frac{5}{14}\) количества воды, которое было в ней сначала.
Количество воды, перелитое из первой бочки во вторую, равно \(x — \frac{5}{14}x = \frac{9}{14}x\). После переливания во второй бочке станет:

\(y + \frac{9}{14}x = 60\)

Составим систему уравнений на основе этих условий:

\(\begin{cases} x + \frac{2}{7}y = 40 \\ y + \frac{9}{14}x = 60 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 7, чтобы избавиться от дроби:

\(7x + 2y = 280\)

Умножим второе уравнение на 14:

\(14y + 9x = 840\)

Теперь получаем систему линейных уравнений:

\(\begin{cases} 7x + 2y = 280 \\ 9x + 14y = 840 \end{cases}\)

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим \(2y\):

\(2y = 280 — 7x\)

Разделим на 2, чтобы найти \(y\):

\(y = 140 — \frac{7}{2}x\)

Подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\(9x + 14 \left(140 — \frac{7}{2}x\right) = 840\)

Раскроем скобки:

\(9x + 14 \cdot 140 — 14 \cdot \frac{7}{2} x = 840\)

\(9x + 1960 — 49x = 840\)

\(-40x + 1960 = 840\)

\(-40x = 840 — 1960\)

\(-40x = -1120\)

\(x = \frac{-1120}{-40} = 28\)

Теперь найдём \(y\):

\(y = 140 — \frac{7}{2} \cdot 28 = 140 — 98 = 42\)

Проверим условия задачи:

1) Меньшая бочка доливается доверху: \(\frac{2}{7}y = \frac{2}{7} \cdot 42 = 12\), первая бочка: \(28 + 12 = 40\)

2) Большая бочка доливается доверху: \(\frac{9}{14}x = \frac{9}{14} \cdot 28 = 18\), вторая бочка: \(42 + 18 = 60\)

Ответ: в первой бочке было \(28\) л воды, а во второй бочке было \(42\) л воды.