ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1126 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли двузначное число, удовлетворяющее таким условиям: цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц, а разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна: 1) 20; 2) 18? Если такое число существует, найдите его.

Пусть искомое двузначное число будет \(\overline{ab} = 10a + b\).

1) Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ (10a + b) — (10b + a) = 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ 10a + b — 10b — a = 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a — b = 2 & | \cdot 9 \\ 9a — 9b = 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 9a — 9b = 18 \\ 9a — 9b = 20 \end{cases}\) — так как левая часть уравнений одинаковая, то решений нет.

Ответ: такого числа не существует.

2) Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} a — b = 2 & | \cdot 9 \\ 9a — 9b = 18 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 9a — 9b = 18 \\ 9a — 9b = 18 \end{cases}\) — так как левая и правая часть уравнений равны, то задачи удовлетворяет любое двузначное число, у которого цифры в разряде десятков на 2 больше цифры в разряде единиц: 53, 64, 75.

Ответ: любое двузначное число, у которого цифры в разряде десятков на 2 больше цифры в разряде единиц: 53, 64, 75 …

Пусть искомое двузначное число будет \(\overline{ab} = 10a + b\), где \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц.

Условие: цифра в разряде десятков на 2 больше цифры в разряде единиц, значит:

\(a — b = 2\)

Обозначим число с цифрами в обратном порядке как \(\overline{ba} = 10b + a\).

Разность между числом \(\overline{ab}\) и числом \(\overline{ba}\) равна:

\((10a + b) — (10b + a) = 9a — 9b = 9(a — b)\)

Так как \(a — b = 2\), получаем:

\(9(a — b) = 9 \cdot 2 = 18\)

Теперь рассмотрим два случая:

1) Разность равна 20:

Тогда система уравнений:

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ 9(a — b) = 20 \end{cases}\)

Подставим \(a — b = 2\) в \(9(a — b) = 20\):

\(9 \cdot 2 = 18 \neq 20\)

Следовательно, противоречие. Таким образом, решения нет.

Ответ: двузначного числа, удовлетворяющего этим условиям при разности 20, не существует.

2) Разность равна 18:

Тогда система уравнений:

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ 9(a — b) = 18 \end{cases}\)

Подставим \(a — b = 2\) в \(9(a — b) = 18\):

\(9 \cdot 2 = 18\)

Это верно, значит, условия согласованы.

Следовательно, любое двузначное число, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц, подходит.

Проверим возможные цифры \(a\) и \(b\):

\(b\) может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Тогда \(a = b + 2\) и числа будут:

\(a = 3, b = 1 \Rightarrow \overline{ab} = 31\)

\(a = 4, b = 2 \Rightarrow \overline{ab} = 42\)

\(a = 5, b = 3 \Rightarrow \overline{ab} = 53\)

\(a = 6, b = 4 \Rightarrow \overline{ab} = 64\)

\(a = 7, b = 5 \Rightarrow \overline{ab} = 75\)

\(a = 8, b = 6 \Rightarrow \overline{ab} = 86\)

\(a = 9, b = 7 \Rightarrow \overline{ab} = 97\)

Проверка разности с числами, записанными в обратном порядке: \((10a + b) — (10b + a) = 9(a — b) = 9 \cdot 2 = 18\), верно для всех этих чисел.

Ответ: любые двузначные числа, у которых цифра десятков на 2 больше цифры единиц: 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.