ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1131 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом целом значении а значение выражения \((a — 3)(a^2 — a + 2) — a(a — 2)^2 + 2a\) делится нацело на 3.

\((a — 3)(a^2 — a + 2) — a(a — 2)^2 + 2a = a^3 — 3a^2 — a^2 + 3a +\)

\(+ 2a — 6 — a^3 + 4a^2 — 4a + 2a = 3a — 6 = 3(a — 2)\) — делится на 3

Дано выражение:

\((a — 3)(a^2 — a + 2) — a(a — 2)^2 + 2a\)

Нужно доказать, что для любого целого \(a\) это выражение делится на 3.

Шаг 1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

\((a — 3)(a^2 — a + 2) = a \cdot (a^2 — a + 2) — 3 \cdot (a^2 — a + 2)\)

\(= a^3 — a^2 + 2a — 3a^2 + 3a — 6\)

\(= a^3 — 4a^2 + 5a — 6\)

Шаг 2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

\(-a(a — 2)^2 = -a(a^2 — 4a + 4)\)

\(= -a^3 + 4a^2 — 4a\)

Шаг 3. Добавим третье слагаемое:

\(+ 2a\)

Шаг 4. Сложим все слагаемые:

\((a^3 — 4a^2 + 5a — 6) + (-a^3 + 4a^2 — 4a) + 2a\)

Приведем подобные члены:

\(a^3 — a^3 = 0\)

\(-4a^2 + 4a^2 = 0\)

\(5a — 4a + 2a = 3a\)

Свободный член: \(-6\)

Итого:

\(3a — 6\)

Шаг 5. Вынесем 3 за скобку:

\(3a — 6 = 3(a — 2)\)

Шаг 6. Вывод:

Так как выражение записано как \(3(a — 2)\), оно делится на 3 для любого целого \(a\).

Ответ: доказано, что при любом целом \(a\) выражение делится на 3.