ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1136 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите такие значения х, при которых выражение (а — 1)² + 4(а -1) — x можно представить в виде квадрата суммы.

\((a — 1)^2 + 4(a — 1) — x = a^2 — 2a + 1 + 4a — 4 — x = a^2 + 2a — 3 — x =\)

\(= (a + 1)^2\), \(\quad\) значит, \(x = -4\).

Проверим:

\((a — 1)^2 + 4(a — 1) — (-4) = a^2 — 2a + 1 + 4a — 4 + 4 = a^2 + 2a + 1 =\)

\(=(a + 1)^2\).

Ответ: \(x = -4\).

Нам нужно найти такие значения \(x\), при которых выражение

\((a — 1)^2 + 4(a — 1) — x\)

можно представить в виде квадрата суммы. Иными словами, ищем \(x\), при которых существует выражение вида

\((a + b)^2\), где \(b\) — некоторое число.

Шаг 1. Раскроем скобки в исходном выражении

Начнем с разложения \((a — 1)^2\):

\((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\((a — 1)^2 + 4(a — 1) — x = (a^2 — 2a + 1) + 4(a — 1) — x\)

Шаг 2. Раскроем скобки в слагаемом \(4(a — 1)\)

\(4(a — 1) = 4a — 4\)

Подставляем это обратно:

\((a — 1)^2 + 4(a — 1) — x = a^2 — 2a + 1 + 4a — 4 — x\)

Шаг 3. Приведем подобные слагаемые

Соберем слагаемые с \(a\) и константы:

\(-2a + 4a = 2a\)

\(1 — 4 = -3\)

Таким образом, выражение упрощается до:

\(a^2 + 2a — 3 — x\)

Шаг 4. Сравним с формой квадрата суммы

Квадрат суммы можно записать как:

\((a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1\)

Сравниваем с нашим выражением:

\(a^2 + 2a — 3 — x = a^2 + 2a + 1\)

Шаг 5. Найдем \(x\)

Сравнивая константные слагаемые, получаем:

\(-3 — x = 1\)

Решаем относительно \(x\):

\(- x = 1 + 3\)

\(- x = 4 \quad \pm x = -4\)

Итак, получаем:

\(x = -4\)

Шаг 6. Проверим результат

Подставим \(x = -4\) обратно в выражение:

\((a — 1)^2 + 4(a — 1) — (-4) = (a — 1)^2 + 4(a — 1) + 4\)

Раскроем скобки:

\((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\)

\(4(a — 1) = 4a — 4\)

Складываем все слагаемые:

\(a^2 — 2a + 1 + 4a — 4 + 4 = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\)

Проверка подтверждает, что при \(x = -4\) выражение действительно является квадратом суммы.

Ответ: \(x = -4\)